Erste 
Deutung der 
Eelation 
(DiOysO. 
Jf\0 Kapitel 6, § 3. 
und die zugeliörige gewöhnliche Differentialgleichung: 
ydy -f- xdx — 0. 
Ihre Integralcurven sind die concentrischen Kreise 
x 2 y 2 = Const. 
Andererseits ist Af—x^~-\-y^- das Symbol der infinitesimalen 
Transformation der eingliedrigen Gruppe von Ähnlichkeitstransfor- 
mationen: 
»i = xt, y 1 = yt. 
In der That führt jede solche Ähnlichkeitstransformation jeden Kreis 
der Schar 
x 2 y 2 = Const. 
wieder in einen Kreis dieser Schar über, wie wir wissen (vgl. § 3, 5. Kap.). 
Die Relation 
ü{Äf) - A{Uf) = 0 
lässt also zweierlei geometrische Deutungen zu. Wir wollen dies in 
einem Satze aussprechen und dabei, weil Af und Uf ganz symmetrisch 
auftreten, auch die Bezeichnung gleichartig wählen: 
Satz 6; Ist 
TT ft df , df tt f t Vf i d/ - 
UJ— li dx + Vl $ y > — £ 2 dx + % dy 
und ist identisch 
Vdü t f)-u,(ü\f) = o, 
so gestattet einerseits die Differentialgleichung 
dy — p x dx = 0 
die eingliedrige Gruppe ü 2 f, andererseits die Differentialgleichung 
§2 dy — r\ 2 dx = 0 
die eingliedrige Gruppe U ± f. 
Wir werden später eine heue schöne Deutung dieser wichtigen 
Relation 
Ü!W) - UMf) = o 
geben. — 
Nun sei noch zu unseren Sätzen ein Beispiel angeführt, in welchem 
U(Af) — A{TJf) nicht identisch verschwindet: 
4. Beispiel: Die Schar der oo 1 Parallelgeraden 
x — y = Const. 
gestattet jede Ähnlichkeitstransformation: 
x v = xt, y x = yt, 
denn diese führt eine Gerade