Beispiele. 111 
x — y — c 
der Schar in eine andere 
— Vi= tc 
derselben über. Die Differentialgleichung der Geradenscbar lautet 
dy — dx = 0 
und es ist also 
Af. 
df_ ,df_ 
dx ' dy ’ 
tt f ■ - d f I df 
u f= ;X j^ + y 
während jene Ähnlichkeitstransformationen die der eingliedrigen Gruppe: 
df_ 
dy 
sind. Hier ist nun 
d. h. es besteht in That eine Relation von der Form 
U{Af) - A{Uf) = X ■ Af, 
indem hier l — —1 ist. 
Noch einige geometrische Beispiele mögen hier Platz finden. 
5. Beispiel: Man sucht die Curveu, deren Tangenten, gemessen 
vom Berührungspunkt bis zum Schnittpunkt mit der x-Axe, die con- 
stante Länge a haben (die sogen. Tractricen). Offenbar wird jede 
solche Curve durch eine Translation längs der ¿r-Axe in eine eben 
solche übergeführt. Die Schar der Curven gestattet also die infini 
tesimale Translation ; ihre Differentialgleichung ist also durch 
Quadratur iutegrierbar. In der That, diese lautet 
Yd 2 — y 2 dy — ydx = 0. 
Sie gestattet ~~ und hat den Multiplicator 
6. Beispiel: Man sucht die orthogonalen Trajectorien der oo 1 
Kreise, welche die x- und die y- Axe berühren. Diese Kreise werden 
durch die infinitesimale Ähnlichkeitstransformation