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Kapitel 6, §§ 3, 4. 
Neuer Be 
weis des 
Theorems 8 
Trajectorien invariant lässt und die Differentialgleichung derselben 
einen bekannten Multiplicator hat. Es ist 
x 2 — 2 ax y 2 — 2 ay a 2 = 0 
die Gleichung der Kreisschar. Die Differentialgleichung dieser Schar 
von Kreisen ergiebt sich durch Differentiation: 
x — a yy — ay — 0 
und Elimination von a in der Form: 
** + f - 8(- + = 0 
oder: 
'\4py~ = x + y +V% x y- 
Hieraus ergiebt sich die Differentialgleichung der orthogonalen Tra 
jectorien, wenn y durch — K ersetzt wird, also hat sie die Form 
y = x + V + 
oder 
{y + V^xy) y — x — ]/2xy = 0. 
Sie gestattet, wie wir wissen, üf = x -j- -j- y -iy und besitzt dem 
nach das Integral 
dx dy 
V + V2 xy X + V2 xy 
y Y%xy X -j- Y%xy 
x y 
§ 4. Neuer Beweis und Umkehrung des Theorems 8. 
Unser unabhängig von Theorem 8 (§ 1 dieses Kapitels) abgeleitetes 
.Theorem 9 (in § 2) giebt einen neuen Beweis für das erstere. Wir 
fanden nämlich, dass die Differentialgleichung 
Xdy— Ydx = 0 
die eingliedrige Gruppe üf = | ~ -f rj dann und nur dann ge 
stattet, wenn die mit (7) bezeichnete Relation (in § 2): 
/rTN TJX-Al _ UY — Ay 
( 7 ) X r