Neuer Beweis und Umkehrung des Theorems 8. 
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Lie, Differentialgleichungen. 
8 
oder, ausführlich geschrieben, die Relation 
Y 
x 8r¡ Y dr¡ 
d X d y 
erfüllt ist. Diese Bedingung kann aber in der Form geschrieben werden: 
(10) 
Wir erinnern nun daran, wie man in der Theorie der Differential 
gleichungen einen Integrabilitätsfactor M der Gleichung 
Xcly — Ydx — 0 
definieren kann. Es soll ja M{Xdy — Ydx) ein vollständiges Differential 
sein und dazu ist, wie bekannt, notwendig und hinreichend, dass 
dMX 
dx 
(11) 
ist, denn MX und — MY sind die partiellen Differentialquotienten 
eines Integrals nach y und x. 
Vergleichen wir (10) mit (11), so erhellt, dass 
ein Integrabilitätsfactor ist, und dies war die in Theorem 8 aufgestellte 
Behauptung. 
Diese Folgerung lässt sich auch umkehren: Ist M irgend ein Uml ^ rung 
Multiplicator unserer Differentialgleichung Theorems s. 
Xdy — Ydx = 0 
und bestimmt man £ und r\ in irgend welcher Weise so, dass wie in 
(12) der Bruch 
l 
X V _ Yè 
gerade gleich M wird, so folgt aus (11) rückwärts (10), (9), (8) 
und (7), d. h. die Differentialgleichung Xdy — Ydx = 0 gestattet 
die eingliedrige Gruppe TJf= £ ■— + Daher kommt: 
Satz 7: Ist M ein Integrabilitätsfactor der Differentialgleichung 
Xdy — Ydx — 0, 
so gestattet diese Gleichung die eingliedrige Gruppe 
sobald nur