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Kapitel 6, § 5. 
kann inan durch eine Quadratur solche neue Veränderliche £, t) angeben, 
dass die Differentialgleichung dadurch die Form annimmt: 
%=m 
also durch eine zweite Quadratur integrabel wird. 
Übrigens braucht nicht notwendig die Curvenschar b (x, y) = Const. 
so gewählt zu werden, dass Uty gerade gleich 1 wird. Wenn diese 
invariante Schar b allgemein so genommen wird, dass Ut) nur nicht 
gleich Null ist (denn sonst wäre t) = Const. die Schar der Bahncurven 
£ = Const.), also etwa: 
üb = z(t|), 
so ist die in £ und b geschriebene Differentialgleichung, die zunächst 
die Form 
— $(£, b)^? = 0 
hat, auch integrierbar. Denn sie gestattet ja 
+ü 9 '.»f = *(„)»£ 
und es ist bei ihr 
v=ri+»li- 
sodass sich ergiebt: 
UW) - %QXf) = (|| i - *' (9) S) 
Es soll dies die Form X • %f haben, d. h. es muss X — 0 und 
f * - x'm=o 
sein. Es ist also 
8 lg S = c lg x m 
dt) dt) 
-- ^ enthält demnach kein £ und es kommt: 
] g % = x(b) + #(?) 
oder 
$ — e/00 • 
Die Differentialgleichung nimmt also die Form an: 
/00 f?b — c?£ = 0, 
d. h. sie ist separiert und durch eine Quadratur integrierbar. 
Satz 10: Gestattet die Differentialgleichung 
Xdy — Ydx — 0 
eine eingliedrige Gruppe Uf und kennt man die Bahncurven jc{x,y) —Const. 
derselben, so bestimmt man zunächst durch eine Quadratur eine beliebige