Bemerkungen über das Rechnen mit Symbolen infinites. Transformationen. 121 
Kapitel 7. 
Beziehungen zwischen den infinitesimalen Transformationen, welche 
eine gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung in x, y 
gestattet. 
In diesem Kapitel werden wir untersuchen, welcher Zusammen 
hang zwischen den infinitesimalen Transformationen Uf besteht, die 
eine gewöhnliche Differentialgleichung gestattet. Wir werden sehen, 
dass, wenn man zwei derselben kennt, sofort ein Integral angegeben 
werden kann und umgekehrt die allgemeine Form einer infinitesimalen 
Transformation, welche die Differentialgleichung gestattet, aus einer 
beliebigen derselben und einem Integral sehr leicht abzuleiten ist. 
Vorher müssen wir jedoch noch einige Bemerkungen über das 
Rechnen mit den Symbolen Uf machen. 
§ 1. Bemerkungen über das Rechnen mit Symbolen infinitesimaler 
Transformationen. 
Es sei 
das Symbol einer infinitesimalen Transformation. Wird ganz von 
seiner Deutung als infinitesimale Transformation abgesehen, so stellt 
es einen Differentiationsprocess dar, ausgeführt auf eine beliebige 
Function f von x und y. Deshalb gelten hier Regeln für die Aus 
führung dieses Processes auf Summen, Producte u. s. w. genau in der 
Weise, wie in der Differentialrechnung. So ist 
U{cp • ifi) ■ 
; Ucp + U*, 
i¡) • U(p -j- 
üi\> 
u, s. w. Uc ist natürlich Null, wenn c eine Constante bedeutet. 
Seien nun 
tt f t df x df 
TT -F —— t ^ f ( ^ f 
üzf— 
zwei Symbole, so lässt sich aus ihnen der Ausdruck 
construieren. Derselbe enthält, wie schon im vorigen Kapitel gelegent 
lich gezeigt wurde (in § 2), bemerkenswerter Weise keine zweiten 
Differentialquotienten von f da diese sich sämtlich paar weis fortheben.