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Beziehung zwischen zweiinfin.Transf., welche e.gew.Differentialgl. 1.0. gestattet. 123
Uf=ïK + r} K TTS—Ï. df , „ df
u il fix 7 n 7
df
u t f=i
df
3 dx d y
dy 7 V*f — %2'dx + lh dy 7
stets eine Gleichung
K Ui f + K u 2 f + ^3 Usf — ö
identisch besteht für alle Werte von x, y und f. Eliminiert man
aus den drei obenstehenden Glei-
nämlich die Grössen und ^
dx
chungen, so kommt:
oder
dy
TJJ Ix
u 2 f h
u 3 f | 3
Vi
Vz
%
= 0
— Ï3V2) UJ+ (Isi/i — U 2 f+ (ix^a — hvi) U a f=0
df
und diese Identität zwischen U-J, U 2 f und U 3 f besteht für jedes ^
s) f
und } d. h. für jede Function f. Ist hierin
I2 ^?3 ls^?2 =F ^7
unterscheiden sich also U 2 f und U 3 f nicht nur um einen (von x und
y abhängigen) Factor, so können wir durch | 2 ^ 3 — dividieren
und erhalten eine Relation von der Form
UJ= g 2 (x, y) U 2 f + y) UJ.
Das Symbol einer beliebigen infinitesimalen Transformation in x, y lässt
sich also linear (mit Coefficienten, die von x und y abhängen) aus den
Symbolen irgend zweier solcher zusammensetzen, vorausgesetzt dass die
Symbole der beiden letzteren sich nicht bloss um einen Factor unter
scheiden, geometrisch ausgesprochen: vorausgesetzt, dass die beiden
letzteren infinitesimalen Transformationen einem beliebigen Funkte ver
schiedene Fortschreitungsrichtungen zuerteilen.
Nach diesen Vorbemerkungen kehren wir zu den Multiplicator-
sätzen des vorigen Kapitels zurück.
§ 2. Beziehung zwischen zwei infinitesimalen Transformationen,
welche eine gew. Differentialgleichung erster Ordnung gestattet.
Wir wollen annehmen, die Differentialgleichung
Xdy — Ydx = 0
gestatte zwei bekannte infinitesimale Transformationen
d£
dy ’
TT f— b d f 1
Zusammen
hang zwi
schen zwei
inf. Trans
form, der
Differential
gleichung
und einen
Integral.
v,f=t,§L + %
df
dy
