Andere Ableitungen derselben Ergebnisse und ihre Umkehrung. 129 
Hiernach ist eine Relation vorhanden: 
ß 2 (i) uj - ii, ( S ) »)) |£, 
die sich auch so schreiben lässt: 
Utf— &Ö0 U ± f= 
da Af = ist, oder: 
Kehren wir nun zu den ursprünglichen Veränderlichen x, y zurück, 
so ist £ wegen A% = 0 ein Integral co der Differentialgleichung Af= 0, 
während W(jc, lj) eine Function q(x, y) wird, sodass sich ergiebt; 
U 2 f= ß(m) U x f + q(x, y)Af, 
was zu beweisen war. 
Wir können zu demselben Ergebnis auch durch das folgende 
Vorgehen gelangen: j. e “ er 
~ an Beziehung, 
Da U x f sich nicht nur um einen Factor von Af unterscheidet 
(sonst wäre ja U x f eine triviale Transformation der Differential 
gleichung), so ist nach dem in § 1 Gesagten klar, dass U 2 f sich 
linear durch U l f und Af ausdrücken lassen muss: 
m u 2 f = 6 u x f + QAf 
Hier sind 6 und q gewisse Functionen von x und y. Sollen nun ü x f 
und ü 2 f infinitesimale Transformationen sein, welche die Differential 
gleichung Xdy — Ydx = 0 oder also die Schar co — Const, der zu 
gehörigen Integralcurven invariant lassen, so müssen U y co und U 2 g) 
Functionen von co allein sein (siehe Satz 2, § 2, Kap. 5): 
U t co = Si ± (co), U 2 co = Sl 2 (co), 
während Aco = 0 ist. Setzen wir also in der sicher vorhandenen Re 
lation (3) f=co, so reduciert sie sich auf: 
( ö ) = 6 C®) 7 
d. h. <? ist eine Function iß(co), sodass sich ergiebt: 
U 2 f=£l(co)U 1 f + Q Af 
Dies ist wieder unsere Formel (1). 
Complicierter ist die Ableitung unserer Formel aus der Rela 
tion (3), wenn wir das Theorem 9 (§ 2 des 6. Kap.) benutzen. Danach 
müssen nämlich, wenn U x f und ü 2 f infinitesimale Transformationen 
sein sollen, welche die Differentialgleichung Xdy — Ydx — 0 gestattet, 
Relationen bestehen von der Form 
Vierte 
Ableitung 
jener 
Beziehung. 
( 4 ) {U X A) = l x (x, y)Af, (U 2 A) ee l,(x, y)A 2 f 
Xi i e, Differentialgleichungen. 
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