130 Kapitel 7, § 3. 
Nach (3) aber ist: 
{U 2 A) = (<? U x , Ä) + {q A, A). 
Hieraus folgt, wenn wir an die Bemerkungen in § 1 erinnern: 
(JJ 2 A) = tf([UyA) — Aa . U x f-\- q(AA) — Aq . Af, 
wo noch (AA) = 0 ist. Substituieren wir hierin die Werte (4), so 
kommt: 
A 2 Af= . Af— Aa . Uyf— Aq . Af 
oder: 
(ply — A 2 — Ao)Af= Aa . üyf 
Hierin sind 6ly — l 2 — Aq und Aa Functionen von x, y. Nach 
Voraussetzung soll sich Uyf nicht nur um einen Factor von Af unter 
scheiden. Es ist also notwendig einzeln jeder dieser beiden Coeffi- 
cienten Null, insbesondere der zweite: 
Aa = 0, 
woraus folgt, dass a ein Integral £l(co) unserer Differentialgleichung 
ist. Danach giebt (3) wieder unsere gesuchte Formel: 
(6) V^il^UJ+QÄf. 
Umkehrung. Nehmen wir nun umgekehrt an, Uyf sei eine infinitesimale Trans 
formation, welche die Differentialgleichung gestattet, iß(co) sei eine 
beliebig gewählte Function des Integrals ra und q eine beliebige 
Function von x und y, so ist leicht zu zeigen, dass alsdann auch die 
durch (5) bestimmte infinitesimale Transformation ü 2 f die Differential 
gleichung invariant lässt. In der That giebt ja die Formel (5) für 
f = o, da Aa = 0 und nach Voraussetzung Uyco eine Function 
ist: 
ü 2 CO = iß(cj) . ^(o), 
d. h. auch ü 2 to ist eine Function von co allein. Die Schar co = Const. 
gestattet also die infinitesimale Transformation Uyf 
Daher werden wir unseren Satz jetzt so aussprechen: 
Theorem 10: Ist Uyf eine nicht triviale infinitesimale Trans 
formation, welche die Differentialgleichung 
Xdy — Ydx — 0 
gestattet, und setzt man 
A f — X — -f- Y~ 
A ' — X dx + Y dy ’ 
so gestattet die Differentialgleichung auch jede infinitesimale 
Transformation von der Form 
U 2 f= Ii(co) Uyf + q(x, y)Af,