Andere Ableitungen derselben Ergebnisse und ibre Umkehrung. 131 
wo iß(co) eine beliebige Function des Integrals co der Differen 
tialgleichung und q eine beliebige Function von x und y be 
deutet. Andererseits ist dies die allgemeinste infinitesimale', if 
Transformation in x, y, welche die Differentialgleichung zulässt. K - f-*- 
Dies Resultat lässt sicli auch in eleganter Weise rein geometrisch me ^°' h 
ahleiten. Seien nämlich TJ{f und TJ 2 f irgend zwei infinitesimale Trans- Ableitun g- 
formationen, welche die Schar der Integralcurven co = Const. invariant 
lassen. Eine beliebige, aber bestimmte Curve dieser Schar sei co{x,y) — c. 
Sie wird von ü 2 f in eine infinitesimal benachbarte Curve der Schar, 
etwa in 
03 Ou Vi) = c -f dc 2 
übergeführt. Alsdann ist, wie wir früher schon (in § 2) fanden: 
(6) U 2 co • dt — dc 2 
und hierin hat die linke Seite ebenso wie die rechte denselben Wert 
längs der Curve co — c. Dies gilt für jede Curve co — c. 
Betrachten wir nun den Ausdruck 
U f\ 
ü 9 ca 
3/; 
derselbe stellt eine infinitesimale Transformation dar, die sich von 
ü,f nur um einen Factor ---, der eine Function von co allein ist, 
U 1 co 7 7 
unterscheidet. Diese infinitesimale Transformation Uf lässt auch die 
Schar m = Const. invariant, es ist ja Um 
eine Function von co allein, nämlich gleich 
ü 2 co. Nach (6) führt mithin Uf die 
beliebige Curve co = c in genau dieselbe 
Curve co — c -f- dc 2 über, in die sie 
durch ü 2 f verwandelt wird. Die beiden 
infinitesimalen Transformationen TJ 2 f und 
Uf führen aber nicht notwendig die 
Punkte der Curve co = c in dieselben 
Punkte der benachbarten Curve co = c + dc 2 über, vielmehr im all 
gemeinen in verschiedene. (S. Fig. 11.) 
Wenn Uf die beliebige Curve co = c in die Curve co = c -f dc 2 
transformiert, so wird die infinitesimale Transformation — Uf alle 
Punkte der letzteren Curve in die der ersteren zurückbringen (wenn, 
wie überhaupt bei dieser Betrachtung, von unendlich kleinen Grössen 
zweiter Ordnung abgesehen wird), denn sie erteilt den Coordinaten 
gerade entgegengesetzte Incremente wie Uf Führen wir nun zuerst 
Fig. 11.