Beispiele. 
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Kapitel entwickelten Multiplicatortheorie (in § 2) und dann auf mehr 
begrifflichem, von früheren Entwickelungen unabhängigeren Wege 
(in § 3). Letztere Methode ist deshalb bemerkenswert, weil sie auf 
partielle Differentialgleichungen ausgedehnt werden kann, wie wir 
später sehen werden. 
§ 4. Beispiele. 
Wir erläutern unsere Theorien durch mehrere einfache Beispiele. 
1. Beispiel: Die Differentialgleichung: 
dy — ndx — 0 
gestattet die beiden infinitesimalen Transformationen: 
denn es ist hier 
und' 
U 2 f-: 
df 
d x 
df 
dy’ 
Af= 
K 
dx 
-f- % 
df 
dy 
(J7 i A) = 0, (ü 2 A) = -Af. 
(Ygl. Theorem 9, § 2 des 6. Kap.) Mithin ist U 2 f von der Form 
U 2 f=£l(G))U 1 f+ QAf, 
also (für f=x und = y): 
X = ß • 1 -j - Q 
y = ß • 0 + QX, 
daher p = —, £1 = x — o — x —— • Es ist also x — — oder 
s x 7 s X X 
xx — y ein Integral. In der That giebt dies differenziert sofort die 
Differentialgleichung wieder. Kürzer hätten wir das Integral nach 
Satz 1 gefunden durch Bildung des Quotienten: 
Xr] 2 — Yg 2 _ 1 • y — x • x y — v.x 
Xrj! — Yi1-0 — x • 1 x 
2. Beispiel: Die Differentialgleichung 
xdy — (y — x 2 )dx — 0 
gestattet die beiden infinitesimalen Transformationen 
denn es ist 
und 
tt n df 
uj— x dy , 
U,mx^ + 2y 
df 
dy’ 
(0i^) = 0, {U,A) = 0, 
wie die Ausrechnung lehrt. Mithin hat ü 2 f die Form: 
uj-awüj+fAf.