Ausführung aller Transform, einer eingl. Gruppe auf eine beliebige Curve. 137 
invariant bleiben. Eine solche Schar ist die der Bahncurven, denn 
es bleibt ja jede Bahncnrve bei der Gruppe einzeln invariant, also 
auch die Schar derselben. 
Wollen wir eine andere invariante Schar von oo 1 Curven Je finden, 
so haben wir anzunehmen, dass wenigstens eine Curve Je 0 derselben 
Jeeine Bahncurve sei. Führen wir auf diese Curve Je n alle Transfer- A li sf< iF' urs 
u aller Trans- 
mationen der Gruppe aus, so sollen dieselben Je n in Curven Je der i f rm / !?' tionen 
A A 7 u der Gruppe 
gesuchten Schar überführen. Durch Ausführung aller oo 1 Transfer- 
mationen der Gruppe geht aber Je 0 gerade in oo 1 Curven über; 
denn ist 
(4) £l(x, y) — 0 
die Gleichung von Je 0 , so findet man die Curven, in welche Je 0 durch 
die Transformationen der Gruppe verwandelt wird, durch Elimination 
von x und y aus (1) und (4) ausgedrückt in x x und y 1} und die sich 
ergebende Gleichung enthält einen Parameter a. (Derselbe würde nur 
dann wegfallen, wenn Je 0 gegen die Voraussetzung Bahncurve wäre.) 
Die oo 1 Curven, in welche somit Jc 0 bei allen Transformationen der 
Gruppe übergeht, bilden nun offenbar eine invariante Schar. Denn 
sei Je eine beliebige dieser oo 1 Curven, die aus Je 0 etwa durch Aus 
führung von T a hervorgegangen ist, so ist: 
(6) (ä 0 )T a = (fc). 
Führen wir auf Je eine beliebige Transformation T b der Gruppe aus, 
so geht Je über in die Curve (Je) T h oder nach (5) in die Curve 
(Je 0 )T a T b oder (Je 0 )T c , also in eine Curve, die aus Je 0 durch Ausführung 
einer Transformation T c der Gruppe hervorgeht und daher jener Schar 
an gehört. 
Es ist offenbar gleichgültig, wie die ursprüngliche Curve Je 0 in 
der Ebene gewählt ist, wenn sie nur nicht Bahncurve ist. Immer 
erzeugt sie bei den Transformationen der Gruppe eine invariante 
Schar von oo 1 Curven. 
Dass diese Schar keine Bahncurve enthält, ist leicht zu sehen. 
Sei nämlich angenommen, eine Curve Je x der Schar sei doch Bahn 
curve. Sie gehe aus Je 0 etwa durch die Transformation T a hervor: 
{Je 0 )T a = (Je,). 
Führen wir rechts und links TE 1 aus, so kommt: 
(Jc 0 ) = (Je 1 )T a -\ 
d. h. die zu T a inverse Transformation TE 1 führt Jc x in die Lage Jc 0 
zurück. Wenn aber Je x Bahncurve ist, so ist dies unmöglich, da jede 
Bahncurve bei allen Transformationen der Gruppe, also auch bei TE 1 ,