Bestimmung d. Differentialgl. 1. Ord., welche e. vorgelegte eingl. Gr. gestatten. 139 
diese also durch Elimination von a aus (6) und der differenzierten 
Gleichung d£l((p, if) — 0. Damit hat man dann den allgemeinen ¿^rentiai 
Ausdruck einer gewöhnlichen Differentialgleichung erster Ordnung ge- gl ® i< * u “g en 
funden, welche unsere eingliedrige Gruppe gestattet. Man darf nichtigster 
vergessen, dass man hierdurch eine Differentialgleichung, welche die 
Gruppe gestattet, nicht erhält, nämlich die der Bahncurven. Aber 
die Bahncurven sind mit den endlichen Gleichungen der Gruppe be 
kannt (vgl. Satz 7, § 2 des 4. Kap.), also ist auch ihre Differential 
gleichung durch Differentiation und Elimination zu finden. Daher: 
Satz 1: Kennt man die endlichen Gleichungen einer eingliedrigen 
Gruppe in x, y, so kann man allein durch Differentiation und Elimi 
nation alle gewöhnlichen Differentialgleichungen erster Ordnung zwischen 
x und y bestimmen, welche die Gruppe gestatten. 
Das hier vorgetragene Verfahren liefert alle Differentialgleichungen 
erster Ordnung, welche die Gruppe oder, was auf dasselbe hiuaus- 
kommt, ihre infinitesimale Transformation gestatten. Nach Theorem 8 
(§ 1 des 6. Kap.) lässt sich daher zu jeder dieser Differentialgleichungen, 
mit Ausnahme der Differentialgleichung der Bahncurven, ein Multipli 
cator angeben, und sie sind mithin durch Quadratur integrierbar. 
Man könnte durch dieses Verfahren unbegrenzt viele Differential 
gleichungen erster Ordnung auffinden, die integrierbar sind, denn es 
sind uns ja alle eingliedrigen Gruppen der Ebene bekannt in der 
Darstellungsform 
Vi) = ß (>; V), w i x i, y 1 )~~t = W(x, y), 
(vgl. Theorem 1, § 4 des 2. Kap.). Allein diese Methode leidet an 
dem wesentlichen Übelstande, dass sie keine rechte Übersicht über 
die mannigfaltigen Formen solcher Differentialgleichungen gewährt. 
Später geben wir eine andere Methode, die in dieser Hinsicht voll 
kommener ist. 
Hervorgehoben sei noch, dass unser Verfahren natürlich alle 
Differentialgleichungen erster Ordnung ergeben muss, denn jede solche 
Differentialgleichung gestattet eingliedrige Gruppen. (Vgl. Satz 8 des 
§ 4, 6. Kap.) Damit ist nun aber keineswegs gesagt, dass man auch 
alle Differentialgleichungen Xdy — Ydx — 0 integrieren könne. Die 
Schwierigkeit ist eben die, wenn eine solche Differentialgleichung 
integriert werden soll, eine eingliedrige Gruppe zu finden, welche sie 
invariant lässt und ihre Integralcurven nicht zu Bahncurven bat. 
Wenn nun nicht die endlichen Gleichungen der eingliedrigen 
Gruppe vorgelegt sind, sondern nur ihre infinitesimale Transformation