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Kapitel 8, §§ 2, 3. 
TTS—tdf, df 
utz = i di + y >di 
bekannt ist ; so findet man alle invarianten Curvenscharen 
co(x, y) = Const. 
aus der Bedingung 
Uco = ß(co), 
die sich, wie schon früher bemerkt wurde (siehe § 1 des 6. Kap.), 
durch Benutzung einer passenden Function (D(ra) anstelle von co ohne 
Beschränkung der Allgemeinheit noch specieller annehmen lässt in 
den Formen: 
Uco = 0, V © = 1. 
Die erste Gleichung giebt durch Integration die Schar der Bahncurven. 
Die Ermittelung der Functionen co, welche Uco — 1 machen, deckt 
sich bekanntlich mit der Integration des simultanen Systems 
dx dy d(o 
I V 1 
und erfordert, wie wir früher zeigten (vgl. S. 33 u. 55), bloss eine 
Quadratur, sobald die Bahncurven bekannt sind. Übrigens haben wir 
hierzu schon früher ein Beispiel gegeben. Es ist dies das 5. Beispiel 
des § 3, 5. Kap., wo alle bei der eingliedrigen Gruppe der Rotationen 
um den Anfangspunkt invarianten Curvenscharen gesucht wurden. 
Man könnte in ähnlicher Weise wie oben erkennen, dass zu 
jeder eingliedrigen Gruppe der Ebene auch invariante Scharen von 
oo 2 Curven gehören, auch wäre es leicht, alle derartigen Scharen aus 
den endlichen Gleichungen der Gruppe zu bestimmen. Aber auf diese 
und ähnliche weitergehende Probleme wollen wir uns hier nicht 
einlassen. 
§ 3. Beispiele: Klassen von Differentialgleichungen erster Ordnung 
in x, y, welche eine eingliedrige Gruppe gestatten und daher 
integrabel sind. 
Die Entwickelungen der §§ 1 und 2, welche uns gestatten, alle 
bei einer vorgelegten eingliedrigen Gruppe invarianten Differential 
gleichungen erster Ordnung zu finden, sollen jetzt durch mehrere Bei 
spiele illustriert werden. Dabei heben wir noch einmal ausdrücklich 
hervor, dass eine später zu entwickelnde Methode in allen diesen 
Beispielen schneller zum Ziele führen wird, wie wir seinerzeit zeigen 
werden.