Beispiele: Klassen von Differentialgleichungen erster Ordnung in x, y. 141 
1. Beispiel: Sei vor gelegt die eingliedrige Gruppe der Trans 
lationen längs der x-Axe: 
x 1 = x + a, y x = y. 
Um alle invarianten Scharen von oo 1 Curven zu finden, muss man 
von einer Curve ausgehen. Entweder ist ihre Gleichung frei von x 
oder nicht. Im ersten Fall ist sie Bahncurve, bleibt also bei allen 
Transformationen der eingliedrigen Gruppe invariant. Die Schar der 
invarianten Bahncurven wird dargestellt durch 
y = Const. 
oder durch die Differentialgleichung 
dy — 0. 
Enthält dagegen die Gleichung der Curve x, so ist sie nach x auflösbar: 
x — <p(y) — 0. 
Durch die Translationen der Gruppe geht sie über in die Schar von 
oo 1 Curven: 
x — — Const,, 
deren Differentialgleichung die Form hat: 
1 — 9>'{y)y'= 0. 
Alle Differentialgleichungen also, welche frei von x sind, gestatten 
die eingliedrige Gruppe der Translationen längs der x-Axe. Insbesondere 
ist dy = 0 die Differentialgleichung der Bahncurven. 
Die infinitesimale Transformation der Gruppe lautet und die 
allgemeine Form der invarianten Differentialgleichung, mit Ausschluss 
von dy = 0, ist: 
F{y)dy — dx — 0. 
Bestimmt man nach Theorem 8 des § 1, 6. Kap., hieraus einen Multi 
plicator der Differentialgleichung, so ergiebt sich derselbe gleich 1. 
In der That ist ja auch schon die linke Seite der Differentialgleichung 
ein vollständiges Differential. 
2. Beispiel: Yorgelegt sei die eingliedrige Gruppe von affinen 
Transformationen: 
x 1 = ax, y 1 = y. 
Um alle invarianten Curvenscharen zu finden, müssen wir auf eine 
beliebige Curve alle Transformationen der Gruppe ausführen. Zunächst 
kann die Gleichung dieser Curve frei von x sein. Dann bleibt die 
Curve invariant, und so ergiebt sich die Schar der Bahncurven 
y — Const.