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Kapitel 8, § 3, 
mit der Differentialgleichung 
dy = 0. 
Enthält die Curvengleichung x, so können wir sie so schreiben: 
» — <p{y) = 0. 
Durch Ausführung aller Transformationen der Gruppe liefert sie die 
Curvenschar 
f - <P(V) = o 
oder 
= Const. 
mit der Differentialgleichung 
xcp fy)dy — q)(y)dx — 0 
oder also: 
xdy — F(y)dx = 0. 
Die eingliedrige Gruppe der affinen Transformationen längs der 
x-Axe lässt also unbegrenzt viele Differentialgleichungen erster Ordnung 
invariant, ivelche die Formen: 
dy — 0 
und 
xdy — F{y)dx = 0 
haben. 
Die Differentialgleichung 
xdy — F(y)dx = 0 
gestattet also auch die infinitesimale Transformation x der Gruppe. 
Nach Theorem 8 hat sie folglich den Multiplicator 
In der That ist 
l 
xF{y) ‘ 
dy dx 
Fiy) F 
ein vollständiges Differential. 
3. Beispiel: Sei bei der eingliedrigen Gruppe von Ähnlichkeits 
transformationen : 
x x — ax, y x = ay 
die Gleichung der Curve, von der wir ausgehen, zunächst wieder frei 
von x, also y = c. Die Transformationen der Gruppe führen sie über 
in die Geradenschar 
y = Const. 
mit der Differentialgleichung 
dy = 0.