Beispiele: Klassen von Differentialgleichungen erster Ordnung in x, y. 143 
Enthält die Curvengleichung x, so hat sie etwa die Form 
® — 9>(i0 = 0 
und liefert daher die Curvenschar 
x 
a 
9> 
= 0 
oder bequemer 
ax — <p(ay) — 0. 
(Zu letzterer Form wären wir gelangt, wenn wir wie im vorigen 
Paragraphen die Gleichung der ursprünglichen Curve in x 1} y 1 ge 
schrieben hätten.) Um die zugehörige Differentialgleichung zu finden, 
müssen wir differenzieren: 
dx — (p (ay) dy — 0 
und a aus den beiden letzten Gleichungen eliminieren. Die letzte 
giebt ay in der Form: 
und also: 
a = j^{y)- 
Setzen wir dies in die erste Gleichung ein, so kommt 
f Hy) — <pit(y)) = 0 
oder, wenn nach?/'aufgelöst wird, eine Differentialgleichung von der Form 
y - F ii) - 
Es ist etwas mühselig, auf directem Wege (indem man auf die Ent 
stehung dieser Gleichung recurriert) einzusehen, dass hierin F eine 
beliebige Function von ~ sein kann. Wir bestätigen es indirect, in 
dem wir bemerken, dass die letzte Differentialgleichung die infinitesi 
male Transformation 
üf=x 
df 
d x 
+ y 
df 
dy 
unserer Gruppe bei beliebig gewähltem F gestattet. Denn die 
unserer Gleichung gehörige partielle Differentialgleichung lautet: 
und es ist also, wie Ausrechnung lehrt: 
zu 
(UÄ) = — Af 
Die Differentialgleichung y — F — 0 ist also wirklich die allgemeine 
homogene.