: ) Der Satz des Textes ist längst bekannt. 
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Kapitel 8, § 3. 
Bequemer hätten wir dies einsehen können, wenn wir uns des Kunst 
griffes bedient hätten, die beliebig angenommene Curve nicht in der Form 
(p(ij) = 0, sondern in dieser: 
x — cp 
= 0 
zu geben. Alsdann ist die Gleichung der Curvenschar: 
ax — cp 
= 0. 
Sie siebt differenziert: 
adx — cp' 
y\ xdy — ydx 
= 0, 
sodass die Elimination von a die gewünschte Differentialgleichung giebt: 
v {l)dx-<p’{~){d})-^dx)=.0, 
die offenbar homogen ist. Durch passende Wahl der Function cp er 
hält man offenbar jede homogene Differentialgleichung erster Ordnung. 
Die eingliedrige Gruppe von Ähnlichkeitstransformationen vom An 
fangspunkte aus lässt die homogenen Differentialgleichungen 
y = Gf) 
und keine weiteren invariant. 
Man beachte, dass die Differentialgleichung der Bahncurven 
— = Const., nämlich 
x > y 
y — —, 
J x 7 
schon in unserer allgemeinen Form enthalten ist, ebenso wie die zu 
erst gefundene invariante Differentialgleichung dy = 0 oder y = 0, 
Weil nun die homogene Differentialgleichung die infinitesimale Ahn- 
lichkeitstransformation x -f- y gestattet, so folgt nach Theorem 8: 
Die homogene Differentialgleichung 
F (|) dx = 0 
dy 
hat den Multiplicator*) 
- rf (f) 
Ihr Integral wird also in bekannter Weise aus dem vollständigen 
Differential 
dy 
) dx 
k X ! 
F 
(I)