Beispiele: Klassen von Differentialgleichungen erster Ordnung in x, y. 145 
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durch Quadratur bestimmt. Man bemerkt, dass sich kein Multiplicator 
ergiebt, wenn F sich auf ^ reduciert, da dann der Nenner Null 
ist. Die betreffende Differentialgleichung xäy — ydx = 0 ist nämlich 
die der Bahncurven, für welche die infinitesimale Transformation 
x Tr- + y trivial ist. 
ex 1 3 dy 
4. Beispiel: Die eingliedrige Gruppe der Rotationen um den An 
fangspunkt 
x x = x cos a — y sin a, y x — x sin a -f- y cos a 
sei vorgelegt. Die Curve, auf welche wir alle Transformationen der 
Gruppe ausführen, denken wir uns in x t und y x geschrieben: 
= 0. 
Alsdann ergiebt sich durch Ausführung der zur obenstehenden in 
versen Transformation, die ja ebenso wie diese die allgemeine Trans 
formation der Gruppe ist, die Curvenschar: 
£l(x cos a 
0. 
y sin a, x sin a -f- y cos a) 
Um nun die Differentialgleichung dieser Schar aufzustellen, haben wir 
zu differenzieren: 
da 
+ 
8 (x cos a — y sin a) 
da 
(dx cos a — dy sin d) + 
(ßx sin a + dy cos d) — 0 
d{x sin a -f- y cos a) 
und aus den beiden letzten Gleichungen a zu eliminieren. Dies ist 
etwas unbequem: Bezeichnen wir für den Augenblick die beiden' hierin 
vorkommenden Differentialquotienten von ii mit u und v, so giebt 
die letzte Gleichung 
u cos a + v sin a 
u sin a — v cos a 
und also: 
xdy 
ydx u(x cos a — y sin a) -f- v{x sin a -(- y cos a) 
u (x sin a -J- y cos a) — v{x cos a — y sin a) 
xdx -j- ydy 
Nun aber ist 
(x cos a — y sin df -f- (x sin a -f- y cos df — x 2, -f- y 2 . 
Daher kann die rechte Seite der vorletzten Gleichung als Function 
von x cos a — y sin a und x 1 -f- y 2 betrachtet werden. Ebenso lässt 
sich ii — 0 in der Form 
x cos a — y sin a — (D(x 2 + y 2 ) 
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