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Kapitel 9, § 1. 
oder 0^, und so kommt man-zum selben Ergebnis wie oben. Wir 
können es aber jetzt so aussprechen: 
Die Integration der allgemeinen linearen Differentialgleichung 
y — &(x)y — W(x) = 0 
ist durch eine Quadratur m leisten, sobald die allgemeine Lösung z der 
verkürzten Differentialgleichung 
z — 0{x)z = 0 
bekannt ist. Diese aber wird durch eine Quadratur gefunden. 
Kapitel 9. 
Geometrische Anwendungen. 
In diesem Kapitel wollen wir die Theorien der vorangegangenen 
Kapitel in ausgedehnter Weise auf eine Leihe an sich interessanter 
geometrischer Probleme anwenden. Wir heben jedoch hervor, dass die 
Entwickelungen dieses Kapitels in der Folge nicht unentbehrlich sind. 
Der erste Paragraph wird jedem Leser verständlich sein, während die 
übrigen Paragraphen beim Leser die Kenntnis der Gruudzüge der 
Flächentheorie voraussetzen. Nur noch § 3 macht hiervon eine Aus- 
nahme, der ein Problem über gewisse Differentialgleichungen behandelt, 
das eine gute Übung in unseren Theorien liefert. 
Hiernach mag der Leser selbst darüber entscheiden, wieviel er 
von diesem Kapitel mitnehmen will. 
§ 1. Geometrische Deutung des Integrabilitätsfactors. 
Bei den geometrischen Anwendungen unserer Theorien erweist 
sich eine sehr einfache und schöne geometrische Deutung des Integra 
bilitätsfactors von grossem Nutzen. Diese soll jetzt abgeleitet werden. 
Wenn die Differentialgleichung 
Xdy - Ydx = 0 
die infinitesimale Transformation 
gestattet, so besitzt sie nach Theorem 8 des § 1, 6. Kapitel, den 
Multiplicator