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Kapitel 9, § 4. 
Natürlich ist die Integration sofort durch Separation der Yariabeln 
zu leisten. Wir wollen jedoch unsere obigen allgemeinen Resultate 
verificieren. Es ist hier zu setzen: 
J.=]/A 2 — a 2 cos 2 u, B = iX, 
C = ]/A 2 — a 2 cos 2 u, T) — — iX, 
sodass AB — BG = — 2iX ]/X 2 — a 2 cos 2 u und: 
A 2 e + 2ABf -f- B 2 g — A 2 (A 2 - a 2 ), 
also constant wird. Dasselbe gilt von 
C 2 e + 2CBf + B 2 g = X 2 {X 2 - a 2 ). 
Die beiden Differentialgleichungen der Haupttaugentencurven besitzen 
sonach den Multiplicator 
™ 1 V 1 ' 2 - Ö 5 
= N — , — 
— iil \V — a 2 cos 2 u 
oder auch 
l 
]/^, 2 — a 2 cos 2 m 
und das ist offenbar richtig. 
Man kann nach der analytischen Bedingung dafür fragen, dass 
eine Fläche 
z == F{x, y) 
eine Fläche der von uns betrachteten Gattung ist, d. h. von ihren Haupt- 
tangentencurven in Bhomben zerlegt wird. Der Weg zu ihrer Aufstellung 
liegt offen: Wir benutzen x und y als Parameter u und v. Dann 
ist bekanntlich, wenn die ersten partiellen Differentialquotienten von 
Z nach x, y mit p, q, die zweiten der Reihe nach mit r, s, t be 
zeichnet werden: 
e — 1 -\- P 2 , f=PQ., 9= 1+tf 2 
und die Gleichung der Haupttaugentencurven: 
rdx 2 + 2sdxdy -f- tdy 2 — 0. 
Sie ist in ihre linearen Factoren zu zerspalten: 
(itdy + (s + co)dx) ((s -f- co)dy -f- rdx) = 0, 
sodass zu setzen ist: 
A = — t, B — s -j- oj, 
C = s -j- co, D = — r. 
Hierbei bedeutet co die Quadratwurzel: 
oo — ]/s 2 — rt.