Anwendungen auf Probleme der Fläcbentheorie. 
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Nun wird: 
Ä 2 e -j- 2AJBf -f- D 2 g = f(l -f p 2 ) — 2pqt{s -f- ß>) + (s + to) 2 (l -f- 2 2 ), 
D 2 e -f- 2 CD/“ + D 2 g = (s -f- co) 2 (1 -f- p 2 ) — 2pqr(s -f- ra) + ^ 2 (1 -f- 2 2 )- 
Diese beiden Ausdrücke, sie seien zur Abkürzung mit ü 2 und F 2 
bezeichnet, stellen sich also dar als Functionen der ersten und zweiten 
Differentialquotienten von z. 
Wenn nun die Fläche z = F(x, y) eine Fläche der betrachteten 
Art ist, so müssen nach (23) und (24) die beiden Differentialgleichungen 
der Haupttangentencurven: 
(25) V{Ädy— Bdx) = 0, V {Cdy— Ddx) = 0 
einen gemeinsamen Multiplicator: 
P = 
q{AD — BC) 
besitzen. 
Wenn umgekehrt die beiden Differentialgleichungen der Haupt 
tangentencurven (25) einen gemeinsamen Multiplicator P besitzen, so 
lässt sich hieraus q bestimmen und danach wieder rückwärts eine infini 
tesimale Transformation angebeu, welche die eine Schar der Haupt 
tangentencurven invariant lässt, u. s. w., d. h. man gelangt wieder 
zu den Flächen, welche von ihren Haupttangentencurven in Rhomben 
zerlegt werden. 
Einzige Bedingung für unsere Fläche ist also die, dass die beiden 
Differentialgleichungen (25) einen gemeinsamen Multiplicator habeo, 
dass also eine Function P existiert, sodass: 
dx dy dx dy ’ 
ox 1 oy ox oy 
ist. Hieraus lassen sich und au f algebraischem Wege be 
stimmen und zwar als Functionen der ersten, zweiten und dritten Ab 
leitungen von z. Die einzige verbleibende Bedingung, nämlich die 
der Integrabilität: 
d_ dlgP = d_ dlg P 
dy dx dx dy ; 
enthält also die ersten bis vierten Differentialquotienten von z. 
Die Flächen z — F(x, y) also, welche von ihren Haupttangenten - 
curven in Ehomben zerlegt werden, sind definiert durch eine partielle 
Differentialgleichung vierter Ordnung. 
Wenn wir insbesondere verlangen, dass die Fläche z — F{x, y) 
von ihren Haupttangentencurven in Rhomben von constanter Seiten- 
Ijie, Differentialgleichungen. 12