Integr. gewisser Differentialgl. von Curvensch. in d. Ebene u. auf Flächen. 183 
dSl 
du 
= ye~ M , 
(x) 
? 
und hieraus wird Sl durch eine Quadratur gefunden. Daun ist auch 
lg M = Sl ■ e M bekannt. 
Hiermit ist Satz 13 bewiesen. Denn es ist jetzt der Multiplicator 
M und nach (27) auch der Multiplicator N gefunden. Die Integration 
der Dilferentialgleichungen verlangt weiterhin also nur noch Quadra 
turen. 
Um unseren Satz 13 anzuweuden, wollen wir zunächst unter u. v Geometri- 
1 in sc * ie ■^ LU " 
die rechtwinkligen Punkteoordinaten x, y der Ebene verstehen. Eswendung in 
... der Ebene. 
seien also in der Ebene zwei Curvenscharen definiert durch die Glei 
chungen: 
Ady — Bdx — 0, Cdy — Bdx = 0. 
Es sei M ein Multiplicator der ersten und N einer der zweiten und 
zwischen beiden bestehe die obige Beziehung: 
(27) N*=M*-ß, 
wo a, ß bekannte Functionen von x, y sein sollen. 
Erinnern wir uns an die geometrische Deutung des Multiplicators 
in Satz 1, § 1 dieses Kapitels. Danach ist zu setzen: 
Jf= st N = 8t 
d^yA^+B*’ SvyC i + D‘ i 
Hier bedeutet dt eine infinitesimale Zahl, öy und öv sind die 
Breiten der Streifen, welche von zwei infinitesimal benachbarten 
Curven der ersten bez. zweiten Schar gebildet werden, gemessen an 
der Stelle (x, y). Die Beziehung (27) kann also geschrieben werden: 
Jl— = ( *1—y. ß. 
Hier sind a, ß, A, B, C, D bekannte Functionen von x, y. Es be 
steht demnach zwischen öy und dv eine bekannte Relation von der 
Form: 
(28) 
Wenn umgekehrt eine solche Beziehung besteht, so kann man 
daraus die Relation (27) ableiteu, die beiden Differentialgleichungen 
also nach Satz 13 durch Quadraturen erledigen. 
Ein Specialfall der Gleichung (28) ist: 
dy • dv — ca{x, y)dt 2 .