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Kapitel 9, § 5. 
Er lässt sich leicht geometrisch deuten: Die Integralcurven der 
beiden vorgelegten Differentialgleichungen bilden infinitesimale Paral 
lelogramme. Betrachten wir 
das an der Stelle (x, y) 
befindliche, dg und dv sind 
d** in demselben die Höhen. 
Bezeichnen wir die Seiten 
des Parallelogramms mit 
dm und dn, ihren Winkel 
rig. 20. mit @, so ist (Fig. 20): 
also 
dg = dn • sin @, dv = dm • sin @, 
d(i • dv = dn • dm • sin 2 
Aber dn-dm-siu@ ist der unendlich kleine Inhalt J des Parallelo 
gramms. Die angenommene Beziehung liefert daher: 
J sin 0 — co{x, y)df. 
Nun ist sin ® leicht als Function von x und y auszudrücken, denn 
die durch den Punkt (x, y) gehenden Curven der beiden Scharen 
haben zur x-Axe die Tangentialneigungen ~ und sodass 
tg @ = 
A 
D 
C 
l+--~ 
^ A 0 
JBC — AB 
AC — BD 
ist. Unsere Annahme kommt also auf die hinaus, dass der Inhalt J 
des Parallelogramms als Function des Ortes (x, y) bekannt ist. Wenn 
umgekehrt dies der Fall ist, so lässt sich rückwärts die Relation (27) 
ableiten. Sonach kommt: 
Satz 14: Zerlegen die Integralcurven zweier Differentialgleichungen 
Ady — Bdx = 0, Cdy — Ddx = 0 
die (xy) -Ebene in infinitesimale Parallelogramme derart, dass der Inhalt 
des an der Stelle (x, y) befindlichen Parallelogramms eine bekannte 
Function des Ortes ist, so verlangt die Integration nur Quadraturen. 
Insbesondere schliessen wir noch: 
Satz 15: Weiss man von den Integralcurven zweier Differential 
gleichungen 
Ady — Ddx = 0, Cdy — Ddx — 0, 
dass sie die {xy)-Ebene in infinitesimale gleichgrosse Parallelogramme zer 
legen, so verlangt ihre Integration nur Quadraturen. 
Derartige Differentialgleichungen kommen vor, wenn es sich darum 
handelt, die Ebene flächentreu auf sich selbst abzubilden. Die Curven,