Geometrische Deutungen sim. gew. u. linearer partieller Differentialgl. 189 
mit anderen Worten — wenn x, y, z als rechtwinklige Punktcoordi- 
naten im Raume gedeutet werden —, diejenigen Curven im Лайте zu 
finden, welche die folgende geometrische Eigentümlichkeit besitzen: 
Die Gleichungen (1) ordnen jedem Punkte (x, у, z), für welchen nicht 
etwa zufällig gerade X — Y — Z = 0 ist, eine Fortschreitungsrichtung 
(dx, dy, dz) zu, deren Richtungscosinus proportional X, Y, Z sind. 
Das Integrationsproblem besteht nun darin, alle Curven zu finden, deren 
Tangenten in allen ihren Punkten mit den den betreffenden Punkten 
zugeordneteu Fortschreitungsrichtungen zusammenfallen. Die Integra 
tion liefert, wie mau analytisch beweisen kann, oo 2 Curven (indem 
zwei Integrationsconstanten auftreten). Dies hat einen anschaulichen 
Sinn, denn wir werden geometrisch eine solche Integralcurve dadurch 
erhalten, dass wir von einem beliebigen Punkte ausgehend der ihm 
zugeordneten Richtung folgen bis zu einem benachbarten Punkt, hier 
wieder der diesem zugehörigen Richtung bis zum nächsten Punkt nach 
gehen u. s. w. Durch jeden Punkt allgemeiner Lage im Raume geht 
also eine und nur eine Integralcurve, sodass es im ganzen deren oo 2 
giebt. Natürlich ist diese anschauliche Betrachtung kein strenger 
Beweis für die Existenz von Integralcurven. Wir setzen vielmehr die 
allgemeine Möglichkeit der Integration als bekannt voraus. 
Analytisch werden die oo 2 Integralcurven durch zwei Gleichungen 
dargestellt, die, nach den willkürlichen Constanten а, b aufgelöst, etwa 
die Form haben: 
u(x, y, z) = a, v{x, y, z) — b. 
Jedem bestimmten Zahlenpaar а, b entspricht eine Integralcurve. Die 
vorstehenden Gleichungen stellen die oo 2 Integralcurven dar als Schnitte 
der Flächen и — Const. und v = Const. Folglich enthält jede dieser 
Flächen oo 1 Integralcurven. 
Eine Function u heisst ein Integral des simultanen Systems (1), 
wenn jede Fläche aus der Schar u = Const. von oo 1 Integralcurven 
des Systems erzeugt wird. Dies tritt dann und nur dann ein, wenn 
u die Gleichung 
tt- D U > -rr 0 U ■ ry d и 
Л. о f* i. к - -f- ö— 
1 dy ' dz 
d x 
identisch erfüllt. Dann nämlich und nur dann besitzt jede Fläche 
u = Const. in jedem Punkte eine Tangente, deren Richtung (X: Y:Z) 
mit der Richtung der durch den betreffenden Punkt gehenden Integral 
curve zusammenfällt. Wenn man also von Punkt zu Punkt dieser 
Richtung nachgeht, d. h, eine Integralcurve durchläuft, so bleibt mau 
fortwährend auf der Fläche u — Const., die daher die durch einen