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Kapitel 10, § 1. 
Lineare par 
tielle Diffe 
rentialglei 
chung 
beliebigen ihrer Punkte hindurchgehende Integralcurve vollständig 
enthält, mithin von oo 1 Integralcurven erzeugt wird. 
Kennt man zwei von einander unabhängige Integrale u und v des 
simultanen Systems (1), so stellen die Gleichungen 
u — a, v = b (a, 1) = Const.) 
alle oo 2 Integralcurven dar. Da nun 
Sl(ii, v) = 0 
die allgemeine Gleichung einer von oo 1 Curven u = a, v = b erzeugten 
Fläche ist, so ist ii(u, v) das allgemeinste Integral des simultanen 
Systems. Jedes Integral des Systems ist also darstellbar als Function 
irgend zweier von einander unabhängiger Integrale derselben. Kennt 
man nur diese zwei, so kennt man alle Integrale und alle Integral 
curven, und das simultane System ist als integriert zu betrachten. 
Eine einzelne Fläche 
(p{x, y,z) = 0 
wird von oo 1 Integralcurven erzeugt, wenn sie in jedem ihrer Punkte 
(x, y, z) die Richtung der hindurchgehenden Integralcurve zur Tan 
gente hat, wenn also für jeden Punkt der Fläche 
X p- + 
ox 1 
dcp 
dy 
+ 'Zp- 
GZ 
ist, denn dann und nur dann enthält sie die durch ihre Punkte gehen 
den Integralcurven. Dies können wir auch so aussprechen: Die Glei 
chung (p{x, y, z) — 0 lässt sich dann und nur dann in der Form 
&(u, v) — 0 schreiben, in der u, v zwei von einander unabhängige 
Integrale darstellen, wenn die Gleichung: 
x |qp_|_ Yp?-l-Z^ = 0 
ox 1 dy 1 GZ 
besteht vermöge <p{x, y, z) — 0. 
Hierbei wird stets von solchen Punkten {x, y, z) abgesehen, für 
die X, Y, Z selbst sämtlich verschwinden. 
Betrachten wir nun die lineare partielle Differentialgleichung 
(2) + = 
Lösung derselben heisst jede Function f = u, welche sie identisch er 
füllt und keine Constante ist. Nach dem Obigen ist demnach jede 
Lösung von (2) ein Lntegral des simultanen Systems (1), und umgekehrt. 
Daher leuchtet ein, dass die allgemeinste Lösung von (2) die Form 
f — ii(«, v) hat, sobald nur u, v irgend zwei von einander unabhängige 
Lösungen darstellen. Während das simultane System (1) oo 2 Curven