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Geometrische Deutungen sim. gew. u. linearer partieller Differentialgl. 191 
— die Integralcurven u = a, v — h — definiert, werden durch die 
lineare partielle Differentialgleichung (2) diejenigen Flächen 
Si(u, v) — Const. 
bestimmt, deren jede von je oo 1 Integralcurven erzeugt wird. Sind 
die Integralcurven bekannt, so sind es auch die von ihnen gebildeten 
Integral 
flächen. 
Flächen, die Integral flächen, und umgekehrt. 
Die Integration der linearen partiellen Differentialgleichung (2) 
ist demnach auf diejenige des simultanen Systems (1) zurückführbar, 
oder auch umgekehrt. 
Sind u und v zwei von einander unabhängige Lösungen von (2), 
d. h. Integrale von (1), so stellen die Gleichungen 
u = a, v — b 
die oo 2 Integralcurven von (1) dar. Diese Curven nennen wir nach 
Monge auch die Charakteristiken der linearen partiellen JDifferential- 
gleichtmg (2). Wir können daher sagen: Jede Lösung von (2) stellt 
gleich Const. gesetzt eine von oo 1 Charakteristiken erzeugte Integral 
fläche von (1) dar, und umgekehrt erzeugt eine continuierliche Schar 
von oo 1 Charakteristiken — etwa alle von einer beliebigen Curve aus 
gehenden Charakteristiken — stets eine Integralfläche. 
Wir wollen diese geometrischen Deutungen durch einige sehr ein 
fache Beispiele erläutern. 
1. Beispiel: Die lineare partielle Differentialgleichung 
Beispiele. 
hängt zusammen mit dem simultanen System 
dx dy dz 
y — x 0 
Dasselbe ordnet einem Punkt (x, y, s) des Raumes eine Fortschrei- 
tungsrichtung zu, deren Richtungscosinus proportional y, — x, 0 sind, 
die also zur (xy)-Ebene parallel und auf dem Lote vom Punkt aus 
auf die #-Axe senkrecht steht. Verfolgt man die Fortschreitungs- 
richtung von Punkt zu Punkt, so beschreibt man einen Kreis, der 
seinen Mittelpunkt auf der #-Axe hat und dessen Ebene auf der 0-Axe 
senkrecht steht. Die Charakteristiken sind also sämtliche Kreise, welche 
durch Rotation um die #-Axe entstehen, die von Charakteristiken er 
zeugten Integralflächen daher die Rotationsflächen mit der £-Axe als 
Rotationsaxe. In der That ist die Gleichung einer solchen 
f=z — (p(x 2 + y 2 ) = 0 
und hier ist