Abhängigkeit linearer partieller Differentialgleichungen. 
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sind alle oo 2 Geraden durch den Anfangspunkt, die Integralflächen 
also Kegel, welche den Anfangspunkt zur Spitze haben. Diese werden 
durch eine in x, y, z homogene Gleichung 
fix, y, z) = 0 
dargestellt. Ist dieselbe homogen vom w ten Grade, so ist nach dem 
Euler’schen Satze 
df , df , df 
x~ + y 
dx 1 ^ dy ^ dz 
mf, 
d. h. die lineare partielle Differentialgleichung wird von f erfüllt ver 
möge f — 0. 
§ 2. Abhängigkeit linearer partieller Differentialgleichungen. 
Zur Abkürzung wollen wir die linke Seite einer linearen partiellen 
Differentialgleichung, also einen Ausdruck von der Form 
, v ff , 7 df 
X dx r dy + Z dz’ 
der einen Differentiationsprocess, ausgeführt auf eine Function f dar 
stellt, durch ein Symbol von derselben Form, wie wir es in der zweiten 
Abteilung an wandten, also durch Af, Bf u. dergl. bezeichnen. Setzen 
wir also: 
Af 
, Y df, 7 df 
x ° + Y dy + z dz } 
dx 
so lautet die lineare partielle Differentialgleichung kürzer 
Af = 0. 
Es seien u und v zwei von einander unabhängige Lösungen der 
selben, d. h, es sei: 
Au 
X~ + Y ^ + Z^ = 0, 
Av = X 
dx 
dv 
+ Y Ty + Z 
0. 
dz 
dv 
dx 1 JL dy 1 ~ dz 
Aus diesen beiden Gleichungen lassen sich nun die Verhältnisse X: Y:Z 
berechnen, X, Y, Z verhalten sich nämlich zu einander wie die 
zweireihigen, wegen der Unabhängigkeit der Functionen u, v nicht 
sämtlich verschwindenden ünterdeterminanten der Matrix: 
sodass sich ergiebt 
X 
du dv dv du 
dy dz dy dz 
Die, Differentialgleichungen. 
d u 
d u 
du 
dx 
dy 
dz 
dv 
dv 
dv 
dx 
dy 
dz 
Y 
u dv 
dv 
du 
dz dx dz dx 
du dv 
dx dy 
dv du 
dx dy 
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