Abhängigkeit linearer partieller Differentialgleichungen. 
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chungen. Nach einem allgemeinen Satz aus der Theorie der linearen 
homogenen Gleichungen ziehen dieselben bekanntlich nach sich, dass 
entweder Fy 7 liz sam ttich Null sind — und das ist hier aus 
geschlossen —, oder aber, dass ihre Determinante verschwindet: 
(4) 
*1 
?! 
X 2 
*3 
r 3 
= 0. 
Man kann hieraus ferner schliessen, dass es drei Functionen Q lt q 2 , p 3 
geben muss, sodass: 
i 01 ^1 H - 02^2 4" 0s-^-3 = 0, 
(5) I 0i -f- 0 2 Y 2 + 0 3 Z 3 = 0, 
' 01 ^1 + 02 Z‘2 + 03 ^8 — 0 
ist. Natürlich sind p 2 , p 3 durch diese Gleichungen nur ihren Ver 
hältnissen nach bestimmt. Diese drei Gleichungen lassen sich zu einer 
einzigen zusammenfassen. Multiplicieren wir nämlich die erste mit , 
die zweite mit die dritte mit und addieren sie dann, so kommt 
oy ’ dz ’ 
einfach: 
0i A t f + q 2 A 2 f -f 9 S Ä z f = 0. 
Satz 1: Haben drei homogene lineare partielle Differentialgleichungen 
in x, y, z: 
AJ *= 0, A 2 f — 0, A s f= 0 
eine gemeinsame Lösung, so besteht mischen A 1 f, A 2 f, A 3 f eine Identität 
von der Form 
0iOG V, «) A x f -j- q 2 {x, y, z)A 2 f+ g z {x, y, e)AJ== 0 
und mar für alle Werte von f 
Wir werden drei lineare partielle Differentialgleichungen A x f — 0, 
A 2 f = 0, A z f = 0 in dem Falle, dass zwischen ihnen eine lineare Re 
lation besteht: 
0i0, V, *)A x f + 0 2 O; 2/, *)A*f + 03V, ¿)A 3 f = 0, 
von einander abhängig nennen. Giebt es keine drei Functionen p 1; p 2 , q z , Abhängig- 
dnrch welche diese Gleichung zu befriedigen wäre, so nennen wir sie un.- part. 
. ° 7 Differential- 
von einander unabhängig. gieichungen. 
Da diese lineare Beziehung wegen der Willkürlichkeit der Function/' 
in die Gleichungen (5) zerfällt, so folgt, dass die drei Gleichungen A x f — 0, 
A 2 f = 0, A z f = 0 dann und nur dann von einander unabhängig sind, 
wenn ihre Determinante: