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Kapitel 10, § 3. 
Wenn man bedenkt, dass 
ist, so lässt sich die Formel noch kürzer so schreiben:*) 
CO A(3f) - B{Af) = jß (Aß, - Ba,) ■ 
Das Bemerkenswerte ist hier, dass der Ausdruck A{Bf)— B{Af) 
völlig frei von den zweiten Differentialquotienten von f wird, also. 
wieder in , • • • ~~ linear und homogen ist, gerade so wie Af und 
Bf selbst. 
Wir werden diesen Ausdruck A{Bf) —B{Af) häufig noch kürzer 
schreiben: {AB) oder, wenn uns daran gelegen ist, dass f in der 
Formel zum Vorschein kommt: {Af, Bf). Wir nennen ihn wie in der 
2. Abteilung (vgl. § 1 des 7 Kap.) den Klammerausdruck von Af und Bf. 
Natürlich ist es, um {AB) zu bilden, durchaus nicht notwendig, 
sich unter Af und Bf die linken Seiten linearer partieller Differential 
gleichungen vorzustellen. Vielmehr werden wir späterhin wie in der 
ersten Abteilung Ausdrücke von der Form Af, Bf an sich betrachten, 
indem wir sie als Symbole infinitesimaler Transformationen auffassen. 
Kehren wir nach dieser den Klammerausdruck betreffenden Ein 
schaltung zu unseren linearen partiellen Differentialgleichungen in 
drei Veränderlichen x, y, z zurück. 
Zwei lineare 
partielle 
Differential 
gleichungen 
mit einer 
Wenn die beiden linearen partiellen Differentialgleichungen in x,y, z: 
AJ= 0, A 2 f= 0 
meniXung. e in e gemeinsame Lösung u besitzen, so ist 
A 1 u = 0, A 2 u = 0. 
Da nun der Klammerausdruck 
(Af, Af) = AAf)-MAf) 
ist, so folgt, dass auch 
ist, d. h. 
{A x u, A 2 u) = 0 
*) Diese wichtige Formel ist, wie früher (§ 2 des 6. Kap.) bemerkt wurde, 
von Jacobi aufgestelit worden.