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Kapitel 10, § 3. 
Da (A X A X ) = 0, (A 2 A 2 ) — 0, (A 2 A X ) — — (A X A 2 ) ist und die Coeffi- 
cienten der vier letzten Glieder Functionen von x, y, z sind, so drückt 
sich also wegen (8) auch (A X A 2 ) linear durch A x f und A 2 f aus oder 
nach (9) linear durch A x f und A 2 f. 
Es ist also ganz gleichgültig, in welcher Form (9) man die 
beiden linearen partiellen Differentialgleichungen schreibt. 
Insbesondere kann man, wie wir nachher sehen werden, das 
System der beiden Gleichungen A x f=0, A 2 f = 0, sobald 
(y4-i^4) ~ Qi^- X f ~\~ Q‘iA 2 f 
ist, stets in solcher Weise A x f = 0, A 2 f — 0 schreiben, dass der 
Klammerausdruck (A X A 2 ) = 0 wird. 
Wir werden nun — bevor wir die Möglichkeit dieser Umformung 
darthun — zunächst beweisen, dass, wenn A x f = 0 und A 2 f — 0 zwei 
lineare partielle Differentialgleichungen sind, für die insbesondere 
(AM = o 
ist, die Gleichungen alsdann eine gemeinsame Lösung besitzen. Um 
nämlich in systematischer Weise eine eventuell vorhandene gemeinsame 
Lösung zu finden, denken wir uns das zu A x f = 0 gehörige simultane 
System integriert, also zwei von einander unabhängige Lösungen u, v 
der Gleichung A x f — 0 gefunden. Die allgemeinste Lösung von 
A x f = 0 hat dann die Form Sl(u,v). Da uns nun daran liegt, eine 
solche Lösung von A x f — 0 zu finden, welche auch A 2 f == 0 befriedigt, 
werden wir also die Function so zu bestimmen suchen, dass 
auch A 2 Sl = 0 wird. Nun ist, da Ä 2 f ein auf f ausgeübter Diffe- 
rentiatiosprocess ist: 
(10) Ä 2 Sl{u, V) == ~ Ä x u + ~ Ä 2 V. 
Andererseits folgt aus 
&A) = Mi,/) - Ä,(Ä 1 f) = o, 
wenn wir darin für die beliebige Function f insbesondere u und v 
setzen, da A x u = A x v = 0 ist (denn u und v sind Lösungen von 
Äf= 0): 
Ai(A,u) ~ 0, At/Azv) = 0 f 
d. h. A 2 u und A 2 v sind Lösungen der Gleichung A x f = 0, also 
Functionen von u und v allein: 
A x u = <p{u, v), A 2 v = (u, v), 
sodass (10) liefert: