Der Klammerausdruck und die vollständigen Systeme. 
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wo y in (5 X nur die Rolle einer arbiträren, von x und z unabhängigen 
Grösse spielt. Also kann man das Integral dieser Gleichung als das 
u und y als das v benutzen. Man sieht, dass sich die Integration 
des vollständigen Systems so auf die successive Integration zweier 
gew. Differentialgleichungen erster Ordnung zwischen je zwei Variabein 
reduciert. 
Übrigens ist die Zurückführung des vollständigen Systems auf 
eine Jacobi’sche Form vor Beginn der Integration nicht nötig. Mau 
braucht die Gleichungen nur auf eine solche Form A x f = 0, A 2 f ~ 0 
zu bringen, dass (A t A 2 ) = wird. Sind nämlich u, v die Lösungen 
von A x f = 0, so zeigt diese Relation wegen A x u = A x v = 0, dass 
A x (A 2 u) = 0 und A x (A 2 v) = 0 ist, dass also A 2 u und A 2 v Lösungen 
von A x f — 0 sind und sich daher auch jetzt durch u, v allein aus- 
drücken. Nun setzt man f=£i(u, v) in A 2 f — 0 ein und erhält so 
eine Differentialgleichung in u, v. 
Schliesslich kann man auch die Integration des vollständigen 
Systems A x f — 0, A 2 f — 0, wo 
(AiA 2 ) = Q x A x f -f- Q%A 2 f 
ist, sofort in Angriff nehmen, ohne es erst umzuformen: Man be 
stimmt zwei Lösungen u, v von A x f — 0. Eine gewisse Function 
derselben, erfüllt dann sicher auch A 2 f = 0. Wir bilden 
daher: 
oder: 
da 
dv 
= 0 
da , a s v da 
du ' A^u ~dv 
Da eine Function Sl(u, v) existiert, die diese Gleichung erfüllt, und 
da ^ und ^ nur von u, v abhängen, so lässt sich notwendig auch 
durch u, v allein ausdrücken. Daher ergiebt sich auch auf diesem 
Wege die Differentialgleichung in u und v allein. Diese Methode ist 
oft sehr praktisch. 
Wir wollen uns die gemeinsame Lösung der beiden ein voll 
ständiges System bildenden Gleichungen A x f — 0 und A 2 f = 0 auch 
geometrisch vorstellen. 
Die Frage nach einer gemeinsamen Lösung u kommt auf die 
nach oo 1 gemeinsamen Integralflächen u — Const. der beiden Glei 
chungen hinaus. Es fragt sich somit, ob es oo 1 Flächen giebt, welche