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Kapitel 10, § 3, 
sowohl von je oo 1 Charakteristiken der ersten als auch von je oo 1 
Charakteristiken der zweiten Gleichung erzeugt werden. Man würde 
eine derartige Fläche — da durch jeden Punkt p 0 des Raumes eine 
derselben hindurchgehen müsste — in dieser Weise zu construieren 
suchen: Von einem Punkte p 0 ausgehend verfolgt man die durch ihn 
gehende Charakteristik \ der ersten Gleichung eine Strecke weit bis 
zu einem Punkte p 1 und geht dann auf 
der zu p t gehörigen Charakteristik k 2 der 
zweiten Gleichung eine Strecke weit bis 
p 2) dann von p 2 aus wieder auf einer Cha 
rakteristik Itf der ersten Gleichung u. s. w. 
abwechselnd. (Fig.21.) Diese Bewegungen 
besitzen noch einen ziemlichen Grad von 
zwei Fälle denkbar; Entweder beschreibt man 
hierbei nur eine Fläche — und dann ist dies eine der gesuchten ge 
meinsamen Integralflächen — oder aber man bleibt nicht auf einer 
Fläche. Wenn man die Bedingung dafür aufstellt, dass der erste Fall 
eintritt, so kommt man darauf, dass zwischen A x f und A 2 f eine Rela 
tion von der Form 
(A A) = Qi Af + i>2 Af 
Fig. 21. 
Willkür. Es sind 
bestehen muss*). Da wir von jedem Punkte p 0 des Raumes aus 
gehend alsdann eine Fläche erhalten, so ergeben sich gerade oo 1 ge 
meinsame Integralflächen u = Const., und u ist die gesuchte gemeinsame 
Lösung. 
Schliesslich heben wir noch Eines hervor: Eine gemeinsame 
Integralfläche der beiden Differentialgleichungen A t f = 0 und A 2 f= 0, 
welche ein vollständiges System bilden, hat in jedem ihrer Punkte 
die beiden Richtungen, welche dem Punkte 
und A 2 f — 0 gehörigen simultanen Systeme 
Tangenten. Ist 
1 ox ' 1 oy 1 oz ' 
dl 
dy 1 dz 
Af- 
durch die zu A x f = 0 
zugeordnet werden, zu 
df 
Af= A 
— 4- Y d/ 1 i / 
2 dx' ±2 “r ^2 
so sind X 1} Y lf Z t den Richtungscosinus der einen, X 2) Y 2 , Z 2 denen 
der anderen proportional. Sind ferner a, ß, y proportional den Rich 
tungscosinus einer zu diesen beiden senkrechten Richtung, so muss sein: 
*) Diese Deutung des Klammerausdruckes (A x Ä 2 ) erhält in der Theorie der 
Transformationsgruppen eine vollständig scharfe Form.