Der Klammerausdruck und die vollständigen Systeme. 
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X 1 a+Y 1 ß + Z 1 y = 0, 
X 2 a -J- Y 2 [3 -j- Z 2 y — 0, 
d. h. man kann setzen: 
Diese drei Grössen verhalten sich also wie die Richtungscosinus der 
Normalen der gemeinsamen Integralfläche. Bezeichen dx, dy, dz die 
Differentiale der Coordinaten x, y, z auf der gemeinsamen Integral- 
flache, so ist daher: 
(Y X Z 2 - Y 2 Z 1 )dx + {Z x X 2 - Z 2 X x )dy + (X, Y 2 - Z 2 Y x )dz = 0. 
Es ergiebt sich somit der Satz: 
Satz 4: Die Integralflächen des vollständigen Systems: 
Zusammen 
hang zwi 
schen vollst. 
System und 
totaler 
Differential 
gleichung. 
wo (A X A 2 ) = Q x A x fQ 2 A 2 f ist, befriedigen die totale Differential 
gleichung: 
(Y X Z 2 - Y 2 Z x )dx + (Z x X 2 - Z 2 Xf)dy + (X, F 2 - Z 2 Yf)dz = 0, 
und umgelcehrt ist jede Fläche, welche die letztere befriedigt, eine Integral 
fläche des vollständigen Systems. • 
Diese Umkehrung leuchtet ein: Eine Fläche, welche der totalen 
Differentialgleichung genügt, besitzt als Normale die Richtung, welche 
zu den beiden Fortschreituugsrichtungen senkrecht steht, die dem be 
treffenden Flächenpunkt durch die zu A x f = 0 und A 2 f == 0 gehörigen 
simultanen Systeme zugeordnet werden. Die Fläche hat daher die 
beiden letzteren Richtungen als Tangenten, d. h. ist Integralfläche 
von A x f = 0 und A 2 f = 0. 
Es wird erwünscht sein, diese Theorien an einfachen Beispielen 
erläutert zu sehen, 
1. Beispiel: Sei; Beispiele. 
Dann ist 
d. h. A x f = 0 und A 2 f — 0 bilden ein vollständiges System. Dies 
zu integrieren, suchen wir zunächst zwei Integrale u, v des zu A x f= 0 
gehörigen simultanen Systems: 
dx dy dz