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Kapitel 10, §§ 3, 4. 
Man kann auf systematischem Wege durch Integration des voll 
ständigen Systems dies verificieren: A x f — 0 hat das allgemeine 
Integral ß , y) und es ist 
wenn — mit u bezeichnet wird. A 2 Si — 0 hat die Lösung uy 
Z 
oder — • Die totale Diiferentialgleichung lautet hier: 
z 
— yzdx — xsdy -f- xydz — 0 
oder, wenn durch xyz dividiert wird: 
xy ' z 
und giebt integriert: 
— = Const. 
z 
» § 4. Die Jaeobi’sch.e Identität. 
Zum Schluss dieses Kapitels wollen wir noch eine Formel ent 
wickeln, die von grosser Bedeutung für das Folgende ist und die wir, 
wie im vorigen Paragraphen den Klammerausdruck, sogleich in n 
Veränderlichen x x , Xy • • • Xji darstellen, indem wir dem Leser anheim 
geben, die Rechnung im Falle n = 3 durchzuführen. 
Es seien 
n 
n 
n 
n 
\ 
drei solche Differentialausdrücke, wie wir sie nun schon vielfach be 
trachtet haben. Die a, ß, y bedeuten irgendwelche Functionen der 
n Veränderlichen x x , x 2 • • • x n . Zwischen den Klammerausdrücken, 
die sich aus Af, Bf, Cf hersteilen lassen, besteht eine sehr merk 
würdige Beziehung. Wenn wir wie oben A{Bf) — B{Af) kurz durch 
{AB) bezeichnen, so lautet diese Beziehung so: 
({AB)C) + ({BC)A) + {{CA)B) = 0. 
Diese Identität rührt von Jacobi her, der sie in noch allgemeinerer