Die Jacobi’sche Identität. 209 
Die, Differentialgleichungen. 
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Weise entwickelte. Wir werden sie deshalb die specielle Jacobi’sche 
Identität*) oder auch kurz die Jacobi’sche Identität nennen. 
Man kann sie auf verschiedenen Wegen beweisen. Der nächst- 
liegende, aber umständlichste wäre, die Ausdrücke ((AB)C) u. s. w. 
direct auszurechnen und dann zu zeigen, dass sich alle Glieder fort 
heben. In zwei Veränderlichen ist dies noch weniger umfangreich 
und der Leser möge deshalb die Formel für n — 2 wirklich aus 
rechnen. 
Wir wollen die Identität nach einer Bemerkung von Engel be 
weisen: Es ist 
(AB) = A(Bf) - B(Af) 
und daher 
((AS)G) = A(B(Gf)) - B(A(Gf)) - G(A(Bf)-B(Af)) 
= A(B(Gf)) - B(A(Gf)) - C(A(Bf)) + G(B(Af)). 
Durch cyklische Vertauschung der Buchstaben A, B, G gehen hieraus 
die Entwickelungen von ((73C)Ä) und ((CA)B) hervor. Addiert 
man dann die drei Formeln, so heben sich alle Glieder rechts paar 
weis fort, denn z. B. A(B(Cf)) kommt in der ersten als erstes Glied 
positiv, in der zweiten Formel als drittes Glied negativ vor u. s. w., 
sodass die Identität übrig bleibt: 
((AB)C) + {{BC)A) + {(CA)B) = 0. 
Diese specielle Identität gilt also stets für drei Ausdrücke Af, Bf, 
Cf. Sie spielt eine wichtige Rolle in vielen Untersuchungen über 
infinitesimale Transformationen. 
Beispiel: Ist 
Ar df i df 
Af = x d^ + y Jy 
i d f 
T,y. 2 df nr °f l df 
Bf=x 2 z L , Cf = A-A-A 
ox 7 1 o x ' dz 
so ist: 
( OÄ) = ”+*£, 
(AB) = x 2 U-, 
v ' ox’ 
(BC) = 
also 
((AB)C)=- ((BG)A) = 0, ((CA)B) = 2x d / x , 
und die Summe der drei letzten Ausdrücke verschwindet identisch. 
*) Die hervorragende Wichtigkeit der speciellen Jacohi’sehen Identität trat 
wohl zuerst in der Theorie der Transformationsgruppen deutlich hervor.