Definition der eingliedrigen Gruppe im Raume. 
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formation, d. h. die Gruppe enthält die identische Transformation, mit 
anderen Worten: Es muss ein Wert a 0 des Parameters a vorhanden 
sein, für welchen sich die Gleichungen (3) der Gruppe auf die der 
identischen Transformation x x — x, y 1 — y, z t — z reducieren, dass 
also für alle Werte von x, y, z 
(6) cp(x, y, z, a 0 ) = x, y>{x, y } z, a 0 ) eee y, %(x, y, z, a 0 ) = z 
ist. 
Aus der Existenz der identischen Transformation schliessen wir 
— wie in der Ebene (§ 3 des 2. Kap.) — auf die Existenz einer 
infinitesimalen Transformation in der eingliedrigen Gruppe. Wenn foriuation - 
nämlich dem Parameter a ein von a 0 nur unendlich wenig abweichender 
Wert a 0 -f- da erteilt wird, so werden die Gleichungen (3) nicht die 
identische, sondern eine von ihr unendlich wenig verschiedene Trans 
formation der Gruppe vorstellen, d. h. eine infinitesimale Transfor 
mation der Gruppe. In der That, (3) giebt für a = a 0 -{- da: 
x x = cp{x, y, z, a 0 + da) = cp(x, y, z, a 0 ) + da H , 
V iÄQ 
Vi = t{x, y, z, a 0 -j- da) = th(x, y, z, a 0 ) + d ^ x ^ a o) da _[ ; 
= X& V, z,a 0 + da)= %{x, y, z, a 0 ) + ^ da 4 , 
oder wegen (6): 
x x = x -j- 
yi = y + 
z x = z + 
ca 0 1 
dip(x, y, g,g 0 ) , 
8a 0 ' 
dx(*,y,*.<ig a + 
/1 n 
Jeder transformierte Punkt (x 1} y x , zf) ist also seiner Anfangslage 
(x, y, z) unendlich benachbart. Natürlich ist es denkbar, dass in den 
Reihenentwickeluugen die Glieder niedrigster Potenz in da identisch 
verschwinden. Jedenfalls aber wird eine Potenz da r von da als 
niedrigste wirklich auftreten und sie wählen wir dann als unendlich 
kleine Grösse dt = da r . Ihre Coefficienten, die von x, y, z ab- 
häugen (a 0 ist ja nur eine bestimmte Zahl), wollen wir mit ¡¡(x, y, z), 
y(x,y,z), l{x,y,z) bezeichnen. Dann nimmt die infinitesimale Trans 
formation, welche, wie wir wissen, der Gruppe augehört, die Form an: 
pi = x + IO, y, z)dt H , 
(7) \y t = y + q(x, y, 0)dt-{ , 
Ux =Z -f %{p,y,ß)dt H , 
t 
r