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Kapitel 11, § 2. 
(x 2 , y 2 , 0f) ^l(**i> Vi7 &i) 7 
(1^) j V‘2) ^2) ~ ^2(^1; 2/l7 #l)> 
I Tr(# 2 , y 2 , 0 2 ) — t 1 = W(x u y u z x ). 
Die Transformation also, welche die Punkte (#, «/, 0) direct in die 
Endlagen (# 2 , y 2 , z 2 ) überführt, geht durch Elimination von x 1} y 1} z t 
aus (12) und (18) hervor. Diese Elimination ist ausführbar, es kommt 
einfach: 
2) = (x,y,z), 
& 2 {x 2} y 2 ,Z 2 ) = & 2 {x, y, z) , 
W(x 2 , y 2 , 0 2 ) — (t + O = PT(aj, y, 0), 
und diese Transformation gehört ebenfalls der Schar an; es ist die 
zum Parameterwert t -f- t x gehörige. Insbesondere giebt die Reihen 
folge der Transformationen (¿) und (— t) die Transformation t = 0, 
d. h. die identische. Also: 
Satz 2: Integriert man ein beliebiges simultanes System von der Form 
dx i = äy i __ dz, __ 
£ i x i > Vi 1 Z i) V { x i ■> Vi j #i) t{ x i» 2/i) &i) 
mit der Anfangsbedingung x x = x, y x = y, z v = z für t — 0, so be 
stimmen die hervorgehenden Integralgleichungen 
x l = ®( x , y, 0, 0» Vt = W i x > y, 0, 0; *1 = *0; y, Z, t) 
eine eingliedrige Gruppe mit paarweis inversen Transformationen. 
Da die Integration des simultanen Systems 
dx x = dy, dz, __ ^ 
£i x i, 2/x 7 *0 »2 (iCi, 2/17 «1) £(«i > 2/i 7 «i) 
vermöge der Maclaurin’schen Entwickelungen von ¿r 1; f/ 1? ^ nach Po 
tenzen von i die Reihen mit den Anfangsgliedern: 
x x =x-\-Ux,y,z)t + - -, 2/i=2/ + >?(a?,2/,^)iH—, 0, = 0 + £{x,y,z)t-f- 
liefert, so hat die infinitesimale Transformation der construierten Gruppe 
die Form: 
x x = x %dt -{-•••, 2/x=*1 =■ « + • 
Sie stimmt also mit der ursprünglichen infinitesimalen Transformation 
(8) in den Gliedern erster Ordnung überein, und auf diese allein kommt 
es an, da dt 2 , • • • gegen dt zu vernachlässigen sind. Die Coefficienten 
der Glieder zweiter Ordnung in unseren Reihenentwickelungen ergeben 
sich in derselben Weise wie früher in der Ebene (§ 4 des 2. Kap.). 
Wir sagen daher: 
Theorem 13: Jede infinitesimale Tranformation 
Xi = x + Ux, y,0)dt 4 , y x = y + v (x, y, z)dt -f , 
0 X =0 + s(x, y, z)dt -I