Construction einer eingl. Gruppe aus einer infinitesimalen Transformation. 219 
gehört, wenn von unendlich Meinen Grössen zweiter und höherer 
Ordnung abgesehen wird, mindestens einer eingliedrigen Gruppe 
mit paarweis inversen Transformationen an. Die endlichen 
Gleichungen dieser Gruppe ergeben sich durch Integration des 
simultanen Systems: 
dx i dy, ' dzj ^ 
ê (x11 Vi j #i) v{x x ) V\ 5 &i) t{x x > 1h ) ^i) 
mit der Anfangsbedingung, dass x x — x, y x = y, z x — z für t= 0 
sein soll, in der Form: 
£l x {x x ,y x ,zf) = Sl x (x,y, z), 
&2(Xl,yi,0l) = &2(x,y,z), 
W(x 1, y x , z x ) — t = W(x, y, z) 
oder, nach x x , y x aufgelöst und nach t entwickelt, in der Form: 
Xi = x + SO», y>*) T + (s H + n H + s H) IT2 » 
yx = y + v(x, y,*) T + (& JT + 71 jlj + ê I?) FT2 + • ' *> 
. n t . dt , dt , c. 0£\ i 2 , 
^ + §(«» & *) t + + 71 jï + s aJ rr2 ^—• 
Die erzeugte eingliedrige Gruppe besitzt somit eine infinitesi 
male Transformation, die in den Gliedern erster Ordnung mit 
der gegebenen infinitesimalen Transformation übereinstimmt. 
Beispiel: Yorgelegt sei die infinitesimale Transformation 
x x — x — y dt, y x = y -j- xdt, z x — z mât. 
Wir fragen nach der von ihr erzeugten eingliedrigen Gruppe. Hier 
lautet das simultane System: 
dxi _ dy, _ dz, ^ 
— 1h X, in 
Das System 
dx t _ dy, _ ^ 
— 1h x x 
wurde schon früher in der Ebene integriert (Beispiel in § 4 des 2. Kap.). 
Wir fanden die Integralgleichungen: 
x x = X cos t — y sin t, 
y x — x sin t -j- y cos t. 
Es bleibt also nur noch 
— — dt 
VI 
mit den Anfangs werten z, 0 von z x und t zu integrieren. Dies gieht: 
Beispiel.