Construction einer eingl. Gruppe aus einer infinitesimalen Transformation. 221 
X{x, y, z, a) 
(15) 
(14) x x = cp(x, y, e, a), y x = ip(x, y, z, a), z x 
mit dem Parameter a und nehmen an, es sei 
x = x + %{x,y, z)dt H , y = y + y{x,y,z)dt -1 
z = z + l(x, y, z)dt 
eine infinitesimale Transformation derselben. Dass eine solche existiert, 
ist ja bewiesen. 
Nun führen wir nach der Transformation (a) der Gruppe, welche 
die Punkte (x, y, z) in die Lagen (x 1} y x , z x ) überführt, die infinitesi 
male Transformation (15) aus, welche die Punkte (x x , y x , z x ) weiter 
in neue Lagen (x 2 , y 2 , z 2 ) gelangen lässt: 
x 2 = ^1 + > & = Vi + V&i, H , 
^ 02 = *i + • 
Diese Reihenfolge der Transformation (a) und der infinitesimalen ist 
einer einzigen Transformation der Gruppe (14) äquivalent, die natür 
lich nur unendlich wenig von der Transformation (a) abweicht, also 
etwa den Parameter a da besitzt, wo da eine infinitesimale Con- 
stante bedeutet. Die Gleichungen dieser Transformation (a -|- da), 
welche die Punkte (x, y, z) direct in die Punkte (x 2 , y 2 , z 2 ) verwan 
delt, lauten: 
(17) 
d(p 
<p{x,y,z,a + da)= <p{x,y,z,a) + j^da 
dip 
y 2 = OG y, z, a + da) = t (x, y, z, a) + ^ da , 
8% 
i*a = 1 («, y, *> a + da) = i {x, y, z, a) + ^ da 
Andererseits müssen sie sich auch ergeben durch Elimination von 
x t) y 1} Z 1 aus (14) und (16). Diese Elimination wollen wir nur zum 
Teil wirklich durchführen. Es kommt: 
«a = cp{x, y, Z, a) -f i{x u y 1 , Z 1 )dt -f , 
y 2 = i>(x, y, z, a) + vjfa, y Xi ^)dt-\ , 
¿2 = %(?, y, z, a) + gfe, y ir 0i)dt H • 
Die hieraus noch nicht entfernten x 1} y l} z x sollen also die durch (14) 
bestimmten Functionen von x, y, z und a sein. 
Der Vergleich der letzten Relationen mit (17) liefert: 
V(Xi,yi,Zi)dt + 
£(?i,yt7*d 8t + 
8g>{x, y, z, a) 
da 
dipjx, y, z, a) 
da 
d x (s, y, e, a) 
da 
d a —}— • • •, 
d a -j- • • •, 
d a -j— • • ■. 
(18)