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Kapitel 11, § 2. 
Wir können nun genau so wie in § 5 des 2. Kapitels erkennen, 
welche Form die Gleichung hat, die da als Function von dt und 
a darstellt. Um sie zu finden, werden wir wie damals die Veränder 
lichen x, y, z zunächst specialisieren, indem wir ihnen bestimmte Werte 
geben. Alsdann erhalten wir wie damals eine Relation von der Form 
d a = w x d t -f- w % d f -{- • • •, 
wo w x , w 2 • • • Functionen von a allein sind und w x e]= 0 ist. 
Nun verstehen wir wieder in (18) unter x, y, z beliebige Ver 
änderliche. Sobald unter x X) y x , Z x die Functionen (14) von x, y, z und 
a verstanden werden, müssen die Gleichungen (18) identisch bestehen, 
sobald da = iv x dt -f- • • • gesetzt wird. Diesen Wert führen wir wirk 
lich in (18) ein. Alsdann lässt sich rechts und links dt einmal fort 
heben. Da dt unendlich klein ist, so müssen die sich ergebenden 
Relationen auch noch bestehen, wenn dt gegen Null convergiert. Dies 
liefert: 
d<p{x y, g ,a) ( . 
Ja £w M> 
(19) 
d X {x y,z,a) ( . 
-JcT w iW- 
Aus diesen Formeln folgt nun ohne weiteres, dass unsere ein 
gliedrige Gruppe nur eine infinitesimale Transformation enthält. Führt 
man nämlich noch die aus (14) folgenden Werte von x, y, z, aus 
gedrückt in x x , y l , z x , ein, so erhält man drei Relationen von der Form: 
Vu «0 = X{x 1} y x , z x , a) • w x (a), 
v(?17 'h) = Y(x 1, % J\i 0 t , a) ■ w x {a), 
t&i, Vx x *i) = Z{x x , y x , z l} a) • w x {a). 
Erteilen wir hierin der Grösse a einen bestimmten Wert ä, so 
gehen X(x x , y x , z x , a), Y(x x , y x , z x , a), Z{x x , y x , z x> a) in bestimmte 
Functionen von x x , y x , z x allein über: 
X(x x , y X} Z x , a') X{x x , y x , z x ) > 
Y(x 1} y x , z x , a) = Y{x xy y X) z a ), 
Z{x 1 ,y 1 ,z x ,ä)= Z{x x ,y x ,z x ), 
während iv x {a) in eine Constante sich verwandelt. Demnach sind 
%(x 1} y x , z x ), y(x x , y 1} Z-i), £(x lf y 1} 8 X ) bestimmt bis auf einen constanten 
Factor K: 
%(Vi,yi>0i) = KX(.x 1 ,yi,z 1 ), 
V&x, yx, *x) = & Y{x 1} y x , z x ), 
£0*17 2/i» 8\) — X Z(x X) y X) z x ),