Construction einer eingl. Gruppe aus einer infinitesimalen Transformation. 223 
und zwar gilt dies für jede infinitesimale Transformation (15) unserer 
Gruppe. Daher können sich zwei infinitesimale Transformationen der 
Gruppe in ihren Gliedern erster Ordnung nur um einen constanten 
Factor unterscheiden, d. h. sie sind als identisch aufzufassen. Also 
ergiebt sich: 
Satz 3: Eine eingliedrige Gruppe des Baumes mit paarweis inversen 
Transformationen enthält nur eine infinitesimale Transformation, exacter 
ausgesprochen: Alle infinitesimalen Transfonnationen einer eingliedrigen 
Gruppe des Baumes stimmen his auf einen blossen Zahlenfactor in den 
Gliedern erster Ordnung überein. 
Um unsere Gleichungen (19) von dem Factor (a) zu befreien, 
führen wir an Stelle des Parameters a in die Gruppe (14) den durch 
die Gleichung 
a 
ci 0 
definierten Parameter t ein, indem wir für a die hierdurch bestimmte 
Function a von t setzen. a 0 soll hierbei der Wert von a sein, dem 
die identische Transformation zugehört. Dann werden x 17 y x , z t Func 
tionen von x, y, z und t: 
(20) x, = 0(x, y, z, t), y 1 = W{x, y, z, t), = X(x, y, z, t), 
die sich für t — 0 auf x, y, z selbst reducieren. Nun werden die 
Gleichungen (19) einfach diese: 
^ = I0»i, Vi, Si), = Vfa* Vn *i), ^ 
d. h. die endlichen Gleichungen (20) der Gruppe sind die Integral 
gleichungen des simultanen Systems: 
äx x = dy x = dz^ _ 
IGi, Vi. ¿0 VGi, Vi, &i) tGi, Vi, «i) ' 7 
wenn die Anfangswerte x, y, z, 0 von x 1} y l} z 1} t vorgeschrieben 
werden. 
Da dieses simultane System durch die Glieder erster Ordnung 
der infinitesimalen Transformation (15) vollständig bestimmt wird, so 
ist auch die Gruppe durch ihre infinitesimale Transformation völlig 
definiert. 
Unser Schlussergebnis ist also unter Berücksichtigung des Theo 
rems 13: 
Theorem 14: Jede eingliedrige Gruppe des Baumes mit 
paarweis inversen Transfermationen enthält eine und mir eine