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Kapitel 11, § 3.
infinitesimale Transformation. Jede infinitesimale Trans
formation des Raumes gehört einer und nur einer eingliedrigen
Gruppe an. Dieselbe besitzt paartveis inverse Transformationen.
Eingliedrige Wir können demnach wie früher in der Ebene auch im Raume
zeugt v. e. von einer eingliedrigen Gruppe, erzeugt von einer gegebenen infinitesimalen
Transformation, sprechen, ohne Unklarheiten befürchten zu müssen.
§ 3. Symbol einer infinitesimalen Transformation und Reihen
entwickelung der endlichen Gleichungen einer eingliedrigen Gruppe
im Raume.
Gleichwie wir in der Ebene eine infinitesimale Transformation
durch ein Symbol charakterisierten, werden wir auch hier im Raume
verfahren. Liegt die eingliedrige Gruppe im Raume vor:
(21) x t = cp ix, y, z, t), y x = i¡,{x, y, z,i), z x =% (x, y, z, t),
deren identische Transformation etwa dem Parameterwert t — 0 ent
spreche, so kann jede Function f{x x , y x , zf) vermöge (21) als Function
von t und den Anfangswerten x, y, z aufgefasst werden, die mit
variierendem t sich auch im allgemeinen ändert und sich für t — 0
auf f(x, y, z) selbst reduciert. In dieser Auffassung wollen wir nach
dem Differentialquotienten der Function f{x x , y x , zf) nach t fragen.
Lassen wir t bis t -f- 8 t wachsen, so wachsen die von t vermöge (21)
abhängigen Veränderlichen x l7 y x , Z 1 um die Incremente, welche sie
bei der infinitesimalen Transformation der Gruppe:
(22) x = x -{- Ux,y,z)dt-\----, y= y-\- rjdt + •••, e = z -f- £££+•••
erfahren, nämlich um
$x x = £,(x x , y x , zf)dt, $y x == v(xi} Ui) Sz x - t,{x x , y x , zf)dt,
sodass die gleichzeitige Änderung von f{x x ,y x ,zf) sich so darstellt:
*■) - mx 'TT' ) H
= (§| & + ¡v, *>1 + Si) st-
Der Index 1 soll hier überall andeuten, dass x 1} y x , z x die x4rgumente
sind. Der gesuchte Differentialquotient lautet also
8 A
8 t
t Al _i_ y¡ Al _i_ 9 Al .*
01 dxA ^ dyA dz.
*) Man könnte hierin das Yariationszeichen 8 durch das Differentiationa-
zeichen d ersetzen. Wir finden es jedoch bequemer, das erstere Zeichen beizu
behalten.
