Symbol einer infinitesimalen Transformation und Reihenentwickelung. 225 
Insbesondere für t — 0 wird = f(x, y, z) und also ist dann: 
(23) 
»m y, ») = t K j. „ Pi _i_ f K 
dt * dx ' ^ cy ' * dz 
Wir fuhren demnach 
Symbol 
einer infin. 
Transform, 
im Eanme. 
als Symbol der infinitesimalen Transformation (22) unserer Gruppe ein. 
Uf stellt den durch die infinitesimale Grösse dt dividierten Zuwachs 
dar, den f(x, y, z) vermöge der infinitesimalen Transformation (22) 
der vorgelegten Gruppe erfährt. Ist Uf gegeben, so ist auch die in 
finitesimale Transformation gegeben, denn setzt man in Uf die will 
kürliche Function f=x,y,z, so giebt Uf die Coefficienten £, tj, £ der 
infinitesimalen Transformation. Es ist also auch 
So ist z. B. 
das Symbol der in § 1 und § 2 als Beispiel betrachteten infinitesi 
malen Schraubung: 
x — x — ydt, y = y + xdt, z = z -f- mdt. 
Wir werden nun untersuchen, wie sich das Symbol Uf gegenüber 
der Einführung neuer Veränderlicher in die Gruppe verhält. 
Es bedarf zunächst keines besonderen Beweises, dass, wenn wir Neue yer- 
' iin n AVI ^ A 
ändeiiiche 
in der 
Gruppe. 
in die Gruppe 
(21) Xl = cp(x, y, z, t), y 1 = ^(x, y, z, t), 8 X = %(x, y, z, t) 
vermöge zweier cogredienter Gleichungensysteme: 
(24) I 1 = V ’ *)’ ^ = W ^ X ’ V ’ *)’ 1 = X ( X> V ’ 
' = &(x l} y lt zf), bx = Vu *i), h = X i x x, Vu *i) 
neue Veränderliche j, t), § und einführen, dann die so ent 
stehenden Gleichungen, welche bu hx durch £, t), § und t aus- 
drücken, wieder eine eingliedrige Gruppe darstellen. Es ist dies ja 
selbstverständlich, wenn wir die Gleichungen (24) nicht als die zweier 
Ortsveränderungen, sondern als die einer Coordinatenänderung auf 
fassen, vermöge deren die Punkte (x, y, z) und {x x , y t , zf) im neuen 
System die Coordinaten g, b? h und Eu bi? hx haben. Zur weiteren 
Ausführung dieser Auffassung brauchen wir nur auf die Bemerkungen 
des § 1, 3. Kap., zurückzuverweisen. Wir sprechen den Satz so aus: 
Die, Differentialgleichungen. 
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