Translation, sogenannte Translation, ausgeübt. Dadurch wird jeder Punkt der Ebene 
in einen anderen übergeführt. Legen wir, um das analytisch darzu 
stellen, die x-Axe des Cartesischen Coordinatensystems in die Richtung 
der Verschiebung und ist a die Strecke, um welche alle Punkte der 
Ebene verschoben werden sollen, so geht der Punkt (x, y) in den Punkt 
x t = x + a, y 1 = y 
y 
über. Der Strecke a können wir natürlich alle möglichen constanten 
Werte von — oo bis -f- oo beilegen, und dadurch erhalten wir oo 1 
verschiedene*) Translationsbewegungen, welche alle nach derselben 
oder nach der gerade entgegengesetzten Richtung hin stattfinden. 
Führen wir nun zwei derselben nach einander aus: Die erste 
Translation um die Strecke a führt den Punkt (x, y) über in den Üunkt 
x x = x -f- a, y x ~y, 
die darauf folgende zweite Translation um die Strecke a x führt den 
neuen Punkt (x 1} y x ) weiter bis zur Stelle 
x% = x x -j- a x , y 2 = y x , 
die mit den beiden vorigen auf einer Parallelen zur x-Axe liegt. Der 
Übergang aus der Anfangslage (x, y) in die Endlage (x 2 , y 2 ) hätte 
offenbar auch durch eine einzige Translation um die Strecke a -f- a x 
geleistet werden können und zwar gleichzeitig für alle Tankte der 
Ebene. Auch analytisch geht dies hervor, da aus unseren Gleichungen 
durch Elimination der Zwischenwerte x x , y x folgt: 
x 2 = x + a + a x , y 2 = y. 
Dieses ganz einfache Ergebnis können wir so aussprechen: 
Tie Reihenfolge zweier Translationen aus der Schar der Translationen 
x x = x + a, y x = y 
ist (hinsichtlich ihres Endergebnisses) äquivalent mit einer einzigen Trans 
lation aus derselben Schar. 
Eingliedrige Aus diesem Grunde nennen wir jene Schar insbesondere eine 
GrU TraJ-° n Gruppe von Translationen. Sie enthält einen (willkürlichen) Parameter a 
lationen. ü a üer oo 1 verschiedene Translationen. Sie wird deshalb auch eine 
eingliedrige Gruppe genannt. 
*) Eine solche Ausdrucksweise benutzen wir häufig: Wenn ein Gebilde von 
n Parametern (willkürlichen Constanten) abhängt, von denen keiner überzählig ist, 
so nimmt das Gebilde oo n verschiedene Lagen an, wenn die Parameter variieren. 
So giebt es z. B. auf der Geraden oo 1 , in der Ebene oo 2 , im Raume oo 3 Punkte, 
denn die Lage des* Punktes hängt von bez. 1, 2, 3 Parametern (Coordinaten) ab. 
Ferner giebt es in der Ebene oo 3 Kreise, da zur Bestimmung des Kreises drei 
Grössen (z. B. die beiden Mittelpunktscoordinaten und der. Radius) genügen, u. s. w.