Symbol einer infinitesimalen Transformation und Reihenentwickelung. 231 
bilden eine eingliedrige Gruppe in x, y, z. Wir suchen ihre cano- 
nischen Veränderlichen. Es ist hier die infinitesimale Transformation 
(die sich für t = dt ergiebt): 
Daher bestimmen sich £ und 1) nach (27) als Lösungen fder Gleichung: 
Dieselbe ist dem simultanen System 
dx dy dz 
z z 1 
äquivalent und hat die beiden Lösungen: 
l = x~ %z 2 , b = V — $* 2 - 
Die dritte neue Veränderliche § bestimmt sich aus: 
und kann offenbar gleich z gesetzt werden. Wenn wir also vermöge: 
1 = X — %z 2 , b = y — hz 2 , h = *5 
li==Xi — ^ 2 , bl = 2/i — W* hl = «1 
die neuen Veränderlichen g, b, S; Ei, bu hi i n c ^ e vorgelegte Gruppe 
einführen, so ergiebt sich ihre canonische Form: 
Ei = E, bi = b, h = h + L 
Mau verificiert dies ohne Schwierigkeit. 
Wie in zwei Veränderlichen die endlichen Gleichungen einer ein- ^keiung 
gliedrigen Gruppe in Form von 'Reihenentwickelungen mit Hülfe des 
Symbols der infinitesimalen Transformation der Gruppe geschrieben Function, 
werden konnten (vgl. § 3 des 3. Kap.), so können wir nun auch die 
endlichen Gleichungen der eingliedrigen Gruppe Uf des Raumes mit 
Hülfe des Symbols Uf entwickeln. 
Wie wir wissen, giebt die Integration des simultanen Systems 
dz t 
dy 1 
dx 1 
£GììVìì ■h) 
rç(«i. Vi > z i) 
I (¿Cj i 2/i > ) 
mit den Anfangswerten x, y, z, 0 die endlichen Gleichungen der von 
der infinitesimalen Transformation 
erzeugten eingliedrigen Gruppe, also aq, y 1 , z 1 ausgedrückt als Func 
tionen des Parameters t und der Anfangswerte x, y, z für t = 0.