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Kapitel 12, § 1. 
Invariante 
Function. 
Kapitel 12. 
Bestimmung aller bei einer eingliedrigen Gruppe des Raumes 
invarianten Functionen, Cnrven und Flächen, insbesondere der 
Bahncurven. 
Die Bestimmung aller bei einer eingliedrigen Gruppe des Raumes 
invarianten Functionen weicht in keiner wesentlichen Hinsicht von dem 
entsprechenden Problem der Ebene ab (§ 1 des 4. Kap.). Dagegen 
tritt bei der Bestimmung der invarianten Gebilde insofern ein Unter 
schied gegen früher auf, als wir jetzt zweierlei Gebilde, nämlich 
invariante Flächen und invariante Cnrven, zu betrachten haben. 
§ 1. Die Invarianten einer eingliedrigen Gruppe des Raumes. 
Soll eine Function Sl(x, y, z) bei allen Transformationen der vor 
gelegten eingliedrigen Gruppe 
(1) X t = cp (x, y, z, t), y x = ^{x, y, 0, t), z t = 1 {x, y, z, /) 
df 
dz 
ungeändert bleiben, also für jedes t stets: 
Vi, *1) = V, z) 
sein, so liefert die Reihenentwickelung nach Theorem 16 (§ 3 des 
11. Kap.) leicht die notwendige und hinreichende Bedingung dafür. 
Denn nach jener Entwickelung ist: 
&Oi> Vi, *1) = -&0, V, z) + y ÜSi(x, y, z) 4 . 
Soll dies gleich Sl(x, y, z) sein für jedes t, so muss zunächst notwendig 
UIi{x, y, z) = 0 
sein. Dann verschwinden aber auch die höheren Glieder ü{U£i) u. s. w. 
in der Entwickelung. Das gefundene notwendige Kriterium ist somit 
auch hinreichend. 
Theorem 17: Die Invarianten einer eingliedrigen Gruppe 
Uf in drei Veränderlichen x, y, z sind die Lösungen der linearen 
partiellen Differentialgleichung Uf — 0, und umgehehrt. Es 
lässt sich also auch jede Invariante der Gruppe als Function 
zweier beliebiger, aber von einander unabhängiger Invarianten 
derselben darstellen.