i* 
Ein- und zweigliedrige Gruppe von Translationen. 
3 
ikt der Ebene 
[ytisch darzu- 
die Richtung 
Punkte der 
in den Punkt 
n constanten 
alten wir oo 1 
ich derselben 
attfinden. 
is: Die erste 
in den Funkt 
a r führt den 
xe liegt. Der 
(x 2 , y 2 ) hätte 
recke a a x 
<2 Punkte der 
Gleichungen 
n: 
Translationen 
innigen Trans- 
esondere eine 
) Parameter a 
alb auch eine 
ein Gebilde von 
r überzählig ist, 
imeter variieren, 
me oo 3 Punkte, 
Coordinaten) ab. 
des Kreises drei 
genügen, u. s. w. 
Bisher haben wir angenommen, die Translationen sollten sämtlich 
in derselben Richtung stattfinden. Jetzt wollen wir überhaupt alle 
Translationen in der Ebene ins Auge fassen. Wir unterwerfen also 
alle Punkte der Ebene gleichzeitig einer Verschiebung um ein und 
dieselbe Strecke nach ein und* derselben Richtung hin. Indem wir 
nicht nur der Grösse, sondern auch der Richtung der Verschiebung 
alle möglichen bestimmten Werte beilegen, ergiebt sich so eine Schar 
von Translationen, welche die oben betrachtete umfasst. Eine be 
liebige dieser Translationen führt den Punkt (x, y) der Ebene über 
in den Punkt 
x x = x-\- a, y x = y + b, 
wo a und l) zwei beliebige, aber für alle Punkte (x, y) der Ebene 
gleichbleibende Werte haben. Auch hier lassen wir einer ersten Trans 
lation, welche die Punkte (x, y) nach den Stellen (x 1} yf) führt, eine zweite 
folgen, welche die neuen Punkte 
(x x , yf) nach den Stellen (x 2 , y 2 ) 
geleitet, und es ist augenscheinlich, 
dass wir auch durch eine einzige 
Translation alle Punkte (x, y) in 
die Punkte (x 2 , y 2 ) hätten über 
führen können. Die Länge und 
Richtung dieser, die beiden vorigen 
ersetzenden Translation ergiebt sich 
einfach durch Construction der drit 
ten Seite der von den beiden vorigen 
Translationen gebildeten Dreiecke der 
Punkte 0, y), (x lf y x \ (x 2 ,y 2 ) oder 
— mit Benutzung einer kinematischen Ausdrucksweise — als geo 
metrische Summe der beiden ersteren. (Fig. 1.) Auch analytisch erhellt 
dies ohne weiteres, da aus den Gleichungenpaareu 
Xt “=» + «, Vi = V + &; 
x 2 = x 1 + a u y 2 = y l + h 1 , 
welche zwei successive Translationen darstellen, durch Elimination 
von x x , y x folgt: 
x% — x + a/~{- a x , y 2 — y -f- h -f- h lf 
und diese Gleichungen wieder eine Translation darstellen, in Worten: 
Die Reihenfolge zweier beliebiger Translationen ans der Schar aller 
Translationen der Ebene: 
Fig. 1.