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Die Invarianten einer eingliedrigen Gruppe des Raumes. 
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1. Beispiel: Die Gruppe der Schraubungen längs der z-A\e: Beispiele. v 
x x — x cos t — y sin t, 
y x = x sin t -f- y cos t, 
Z x — 8 + 
hat die infinitesimale Transformation 
TT r df . df , cf 
v f=-yji + x T v + m dH- 
Die Invarianten £1 sind also die Lösungen der linearen partiellen 
Differentialgleichung 
dSl . eil , dH 
0. 
dx ' dy 1 dz 
Schon im 1. Beispiel zu Theorem 15 (§ 3 des 11. Kap.) fanden wir 
als Lösungen der partiellen Differentialgleichung: 
Vx 2 -f- y 2 und arctg — — • 
Die allgemeinste Invariante unserer Gruppe ist also: 
&{yx 2 +y\ arctg -f- — ¿) • 
Dass wir zwei Invarianten schon damals bestimmten, hat seinen 
Grund: Die in Theorem 15 mit £ und tj hezeichneten neuen (canoni- 
schen) Veränderlichen sind ja nichts anderes als zwei von einander 
unabhängige Invarianten der Gruppe. 
2. Beispiel: Man soll die allgemeinste Invariante der von der 
infinitesimalen Rotation 
)H + (*-*) g + (»-f)|£ 
erzeugten eingliedrigen Gruppe von Rotationen um die Gerade 
x — y — z aufstellen. Schon im § 3 des vorigen Kapitels im 3. Bei 
spiel zu Theorem 16 bemerkten wir, dass 
x + y + # und ]/x 2 + y 2 + z 2 
von Uf ungeändert gelassen werden. Demnach ist die allgemeinste 
Invariante: 
&{x -f y + z, X 2 -f y 2 + z 2 ). 
3. Beispiel: Man bestimme die allgemeinste Invariante der von 
der infinitesimalen Transformation 
df 
df 
U f^*rx + *Jy + 
df 
dz 
erzeugten eingliedrigen Gruppe. (Vgl. 2. Beispiel zu Theorem 15 und 
2. Beispiel zu Theorem 16 in § 3 des 11. Kap.)