Die bei allen Transf. einer eingl. Gruppe d. Raumes inv. Curven u. Flächen. 241 
oder 
arctg ~ = arctg ~ -f- t 
ergeben, ist auch: 
arctg — = arctg — -f- — 
° x t ° x ' m 
oder: 
arctg & 
— = Const. 
m 
§ 3. Die bei allen Transformationen einer eingliedrigen Gruppe 
des Raumes invarianten Curven und Flächen. 
Wie wir schon oben in Satz 2 ausgesprochen haben, sind die 
oo 2 Bahncurven der eingliedrigen Gruppe invariante Curven. Wir 
wollen uns nun die Frage vorlegen, welche Curven überhaupt bei der In ^”f L e ^ te 
eingliedrigen Gruppe invariant bleiben. 
Sobald eine derartige Curve wenigstens einen Punkt enthält, der 
nicht bei allen Transformationen der Gruppe in Ruhe bleibt, ist sie 
eine Bahncurve, denn dann gelangt dieser Punkt bei allen Transfor 
mationen der Gruppe nur nach Punkten seiner Bahncurve. Da er 
aber auf der invarianten Curve bleiben soll, muss diese also auch die 
Bahncurve des Punktes sein. 
Die zweite Möglichkeit ist nun die, dass alle Punkte der Curve 
einsein bei der Gruppe invariant bleiben. Wenn ein Punkt {x, y, £) bei 
allen Transformationen der Gruppe in Ruhe bleiben soll, so muss er 
zunächst bei der» infinitesimalen Uf invariant sein, d. h. die seinen 
Coordinaten x, y, s durch Uf erteilten Incremente rjdt, £dt 
müssen Null sein. Die Coordinaten ([x, y, s) eines invarianten Punktes 
müssen demnach das Gleichungensystem 
(3) SO»,?,*)“ 0, rj{x,y,s) = 0, t{x,y,s) = 0 
erfüllen. Alsdann bleibt er aber auch bei allen Transformationen der 
Gruppe invariant, wie man genau so, wie wir es früher in der Ebene 
machten, einsieht. (Vgl. § 3 des 4. Kap.) Es kann nun zunächst 
Vorkommen, dass die Gleichungen (3) nicht nur von einer discreten 
Anzahl von Punkten, sondern von allen Punkten einer oder einiger 
Curven erfüllt werden und in diesem Falle sind diese Curven invariante 
Curven der gesuchten Art. Aber es kann fernerhin sogar Vorkommen, 
dass die Gleichungen (3) von allen Punkten einer oder einiger Flächen 
liie, Differentialgleichungen. 16